Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

График эмпирической функции распределения

5) Мода - значение признака с наибольшей частотой;

Медиана значение признака, расположенного в середине ряда распределения. Мода и медиана являются структурными (распределительными) средними.

Для определения моды сначала находят интервал с наибольшей частотой = 8. В этом интервале число правильных ответов 32-36. Точное значение моды находят путем интерполяции по формуле

Где h - шаг интервала, - частота предмодального интервала, - частота постмодального интервала.

= 4=34

Значение медианы также определяем путем интерполяции по формуле

.

- накопленные частоты интервалов, предшествующих меданному.

- локальная частота интервала, в котором находятся единицы совокупности, делящие ряд пополам, медианного интервала.

, следовательно медианным является интервал с накопленной частотой 20, его частота составляет =8, =17.

4=33,5

Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно.

Составляем таблицу:

Таблица 1.

		-4	-4		-64
		-3	-12		-108
		-2	-12		-48
		-1	-6		-6
	n=40		= -2	=170

В качестве ложного нуля принимаем С= 34– варианта с наибольшей частотой 10 и находящаяся в середине вариационного ряда. Шаг выборки h=4. Тогда условные варианты определяются по формуле

.

Подсчитываем все варианты и заполняем все столбцы.

Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству:

= + 4 + 6 n= +4 +6 170 +4 +40= .

Вычисления произведены верно. Найдем условные начальные моменты.

. = 4, 25.

- условные начальные моменты к- го порядка

Вычисляем выборочную среднюю:

= 3,8.

Находим выборочную дисперсию:

= = 4,2475 = 67,96.

Определяем выборочное среднее квадратическое отклонение:

= = =8,2437.

= . = центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков.

Эти моменты в случае равноотстоящих вариант с шагом вычисляются по формулам:

Ассиметрия и эксцесс определяются равенствами: ,

,

,

. = 4, 25.

= =2,08725 = 133,584

= =42,4 = 10855,3552

Коэффициент вариации находим по формуле:

· 100%. · 100% =24, 39 %.

6. Строим нормальную кривую.

Для облегчения вычислений все расчеты сводим в таблицу 2

Таблица 2.

		=			= 19, 4
		-15,8	-1,91654	0,0644	1,24936
		-11,8	-1,43134	0,1435	2,7839
		-7,8	-0,94614	0,2565	4,9761
		-3,8	-0,46094	0,3589	6,96266
		0,2	0,02426	0,3989	7,73866
		4,2	0,50946	0,3521	6,83074
		8,2	0,99466	0,2444	4,74136 5
		12,2	1,47986	0,1334	2,58796
		16,2	1,96506	0,058	1,1252
	n=40				n=40

Заполняем первые три столбца.

В четвертом столбце записываем условные варианты по формуле, указанной в «шапке» таблицы. В пятом столбце находим значения функции
= .

Функция четная,т.е. .Значения функции в зависимости от аргумента (берутся положительные , т.к. четная) находим из таблицы.

Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле

=n ,

где - вероятность попадания Х в i-частичный интервал с концами
и .

Приближенно вероятности могут быть найдены по формуле .

Тогда теоретические частоты равны равны

=n = = 19, 4 .

Заполняем последний столбец. В последнем столбце частоты округляются до целого числа и = =40.

В системе координат () строим нормальную (теоретическую кривую)кривую по выравнивающим частотам и полигон наблюдаемых частот . Полигон наблюдаемых частот построен в системе координат ().

7. Проверяем гипотезу о нормальности Х при уровне значимости =0,05.

В качестве статистики выбирают СВ :

= .

Она подчиняется распределению с числом степеней свободы , где s - число различных значений ; - число параметров, откоторых зависит распределение. Для нормального закона таких параметров два: a= и , т.е. , и . По данному уровню значимости и числу степеней свободы в таблице распределения находят критическое значение и находят критическую область: , = . Затем вычисляем наблюдаемое значение , т.е. по формуле

.

Если окажется, что , то нулевую гипотезу о том,что Х имеет нормальное распределение, принимают. В этом случае опытные данные хорошо согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 3.

Таблица 3

				0,333333		5,333333
				0,2		7,2
		-1		0,142857		5,142857
		-1		0,142857		5,142857
		-1		0,2		3,2
		-1		0,333333		1,333333
	n=40			= 5,352381		45,35238

Суммируя числа пятого столбца, получаем = 5,352381

Суммируя числа последнего столбца, получаем 45,35238

Контроль: =5,352381

- = 45,35238-40=5,352381

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 7, =9-3=6.

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы 6 находим .

Так как ,то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

8. Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания, полагая, что Х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение = 8,2437и доверительную вероятность .

Известен объем выборки: n=40, выборочная средняя 3,8.

Из соотношения 2 получим 0,475. По таблице находим параметр t=1,96.

Найдем точность оценки

= 2,55

Доверительный интервал таков:

< или < или < .

Надежность указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95 % из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен.

Интервальная оценка для среднего квадратического отклонения:

. находим по таблице по заданным n и .

= 0,24