Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция 1. Основы экономической организации общества.

1. Комплексные числа, действия с ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.
2. Понятие об определителе. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Решение систем уравнений методом Крамера.
3. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей.
4. Матрицы. Типы матриц. Свойства матриц. Операции над матрицами (сложение, вычитание, умножение).
5. Обратная матрица. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.
6. Ранг системы векторов и матрицы. Нахождение ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров и элементарных преобразований.
7. Понятие линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Свойства линейных пространств.
8. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Преобразование базиса и координат.
9. Теоремы о линейной зависимости коллинеарных и компланарных векторов.
10. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная совокупность решений системы. Теорема Кронекера – Капелли. Общее решение однородной системы. (Привести пример). Неоднородные системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы. (Привести пример).
11. Евклидово пространство. Свойства евклидовых пространств. Неравенство Коши – Буняковского. Преобразование базиса и координат. Ортонормированный базис.
12. Векторное произведение. Свойства векторного произведения.
13. Смешанное произведение. Теорема о смешанном произведении.
14. Прямолинейные и криволинейные системы координат. Преобразования координат: параллельный перенос и поворот. Декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
15. Каноническое уравнение прямой. Общее уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой, угол между прямыми. Условия совпадения прямых и параллельности. Пересечение прямых. Нормальное уравнение прямой, прямая в полярных координатах.
16. Плоскость в пространстве: параметрическое уравнение плоскости; общее уравнение плоскости; вектор нормали к плоскости; условия параллельности, совпадения, пересечения и угол пересечения плоскостей.
17. Прямая в пространстве: параметрическое уравнение прямой: параметрическое уравнение прямой; прямая как пересечение плоскостей. Основные задачи о прямых и плоскостях: параллельность прямой и плоскости; расстояние от точки до плоскости; расстояние от точки до прямой; расстояние между скрещивающимися прямыми.
18. Кривые 2-го порядка. Квадратичные функции и их матрицы. Уравнение линии 2-го порядка. Ортогональные матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций.
19. Преобразование линии 2-го порядка при повороте осей координат и параллельном переносе. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду.
20. Типы кривых 2-го порядка: эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых, гипербола, пара пересекающихся прямых, парабола, пара параллельных прямых, пара мнимых пара параллельных прямых, пара совпадающих прямых. Теорема единственности для линий 2-го порядка.
21. Директриса, фокус, эксцентриситет. Директориальное свойство эллипса, параболы, гиперболы.
22. Фокальное свойство эллипса и гиперболы.
23. Парабола, эллипс и гипербола в полярных координатах. Фокальный параметр эллипса, параболы, гиперболы.
24. Алгебраические поверхности II порядка. Исследование методом сечений формы эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндрических поверхностей.
25. Линейные операторы: определение, примеры ЛО, свойства, матрица линейного оператора, обратный оператор.
26. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
27. Линейные операторы в евклидовом пространстве: сопряженный, самосопряженный, ортогональный оператор.
28. Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании переменных..
29. Канонический вид квадратичной формы. Методы Лагранжа и ортогональных преобразований. Закон инерции квадратичных форм.
30. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
31. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов.
32. Монотонные последовательности. Условия существования предела монотонной последовательности. Число е.
33. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.
34. Понятие функции. Область определения, способы задания, график. Сложные, обратные и неявные функции. Элементарные функции.
35. Предел функции в точке. Определение предела на языке и на языке последовательностей. Односторонние пределы функции в точке и их связь с пределом функции в точке. Пределы монотонных функций.
36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение б.м.ф. и б.б.ф. Символы о и О. Таблица эквивалентных б.м.ф.
37. Первый и второй замечательные пределы.
38. Раскрытие неопределенностей в пределах , .
39. Раскрытие неопределенностей в пределах ,
40. Определение непрерывности функции. Непрерывность в точке слева и справа. Точки разрыва и их классификация.
41. Свойства непрерывных функций.
42. Непрерывность основных элементарных функций.
43. Задача о касательной и определение производной, геометрический смысл производной.
44. Односторонние и бесконечные производные.
45. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
46. Дифференцирование суммы, произведения, частного, обратной, сложной параметрически заданной и неявной функции.
47. Производные и дифференциалы высших порядков.
48. Локальный экстремум и теорема Ферма.
49. Теорема Ролля о нулях производной.
50. Формула конечных приращений Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа.
51. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
52. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
53. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
54. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена: показательная функция; гиперболические функции; тригонометрические функции; степенная функция; логарифмическая функция.
55. Правило Лопиталя: теоремы о раскрытии неопределенностей и .
56. Теоремы о необходимом и достаточном условии возрастания (убывания) функции на интервале и в точке.
57. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума функции. Наибольшее значение функции.
58. Теоремы о трех достаточных условиях экстремума функции.
59. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты.

Лекция 1. Основы экономической организации общества.