Читайте также:
|
Экстремум анықтамасы. Қажетті шарт. 
сандық функциясы 
жиынында анықталсын. Егер, біріншіден, а нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден 
кірістіруі орындалатындай қайсыбір δ оң саны мен әрбір 
үшін ƒ(х) ≤ ƒ(а) (ƒ(х) ≥ƒ(а)) теңсіздігі орындалса, онда а нүктесін ƒ(х) функциясы локальді максимум (локальді минимум) мәнін қабылдайтын нүкте деп атайды. Локальді максимум мен локальді минимумді локальді экстремум деп атайды.
Егер а нүктесі ƒ функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болып, ƒ функциясының а нүктесінде барлық дербес туындылары бар болса, онда ол дербес туындылар міндетті түрде нольге тең болады, яғни 
Расында да әрбір i(i=1,…,n) үшін (
-δ, +δ) интервалында бір айнымалылы 
(t)=ƒ(, …, 
, t, 
,…, 
функциясын қарастырсақ, онда t= нүктесі локальді экстремум нүктесі болады, ал дербес туынды анықтамасы бойынша 
болғандықтан, (t) функциясы t= нүктесінде дифференциалданады. Сондықтан, бір айнымалылы (t) функциясына Ферма теоремасын қолданып, 
теңдігіне келеміз, демек (2) бойынша мақсатымыз болатын 
теңдігі дәлелденді.
Ферма теоремасы. Егер ƒ функциясы үшін 
локальді экстремум нүктесі болып, сол нүктеде ƒ-тің ақырлы туындысы бар болса, онда сол туындының мәні нольге тең.
Сөйтіп, ƒ функциясының Е жиынының әрбір ішкі нүктесінде барлық бірінші ретті дербес туындылары бар болса, онда оның локальді экстремум нүктелерін (1) теңдіктерін қанағаттандыратын, а нүктелерінің арасынан іздестіру керек. Бірақ, бір айнымалы жағдайындағы сияқты, (1) шарттары локальді экстремумның қажетті шарттары бола тұрып, жеткілікті шарттары емес.
Сонымен, Е⊂Rn жиынында анықталған ƒ сандық функциясының локальді экстремум нүктесі бола алатын нүктелер мына шарттарды қанағаттандырады:
1) Егер а ∈ Е нүктесі ƒ функциясының локальді экстремум нүктесі болса, онда міндетті түрде ол Е жиынының ішкі нүктесі;
2) Барлық мүмкін 
дербес туындылары бар болса, онда бәрі де нольге тең не аталған дербес туындылардың кемінде біреуі жоқ;
3) ƒ функциясы а нүктесінде дифференциалданса, онда сол дифференциал нольге тең тепе-тең не ƒ а нүктесінде дифференциалданбайды.
2.Экстремумның жеткілікті шарттары (жалпы жағдай) n айнымалылы ƒ(
) сандық функциясы 
нүктесінің δ-маңайында анықталып, сол маңайда бірінші және екінші ретті барлық дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, 
нүктесінің өзінде экстремумның қажетті шарты орындалсын, яғни 
(1) болсын. Онда қалдық мүшесі Лагранж берген түрдегі Тейлор формуласы мен (1) бойынша
ƒ()– 
= 
(3)
Мұнда
өйткені екінші ретті дербес туынды а нүктесінде үзіліссіз.
Енді (3) теңдігінде
Белгілеулері арқылы 
ауыстыруын жасап,
теңдігіне келеміз. Мұндағы n айнымалылы көпмүшелік болатын 
(6)
функциясы nайнымалылы квадраттық форма деп аталады. Мынадай 4 жағдайдың бірі және тек бірі ғана орындалады.
І. Барлық 
үшін 
(бұл жағдайда «
- оң анықталған форма» дейді).
ІІ. Барлық 
үшін 
(бұл жағдайда « - теріс анықталған форма» дейді).
ІІІ. Барлық 
үшін 
(не 
) болып, белгілі бір 
үшін 
(бұл жағдайда « - жартылай оң (теріс) анықталған форма» дейді).
IV. функциясы оң да, теріс те мәндерді қабылдайды (мұндағы жағдайда « - анықталмаған форма» дейді).
функциясы үшін а нүктесі локальді экстремум нүктесі болуы не болмауы осы жағдайлармен тікелей байланысты.
Дәл айтқанда: І жағдайындағы функциясы үшін а нүктесі локальді қатаң минимум нүктесі; ІІ жағдайында - а нүктесі локальді қатаң максимум нүктесі; ІІІ жағдайында а нүктесі функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін; IV жағдайында - а нүктесі локальді экстремум емес.
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 638 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |