Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тіктөртбұрыштар үшін екі еселі Риман интегралы.

f(x,y) функциясы А=[a,b]×[c,d] тіктөртбұрышында анықталған және шенелген болсын.

Барлық мүмкін U P₁,P₂жоғарғы қосындылардан құрылған сандар жиынының инфимумы жоғарғы интеграл, ал L(P₁,P₂;f) төменгі қосындылардан құрылған сандар жиынының супремумы төменгі интеграл деп аталып, сәйкес

f(x,y) dxdy және f(x,y) dxdy түрінде белгіленеді. Сонымен

f(x,y) dxdy = U (P₁,P₂;f), (1)

f(x,y) dxdy = L(P₁,P₂;f). (2)

m𝑣(A) ≤L(P,f)≤U(P,f)≤M𝑣(A) теңсіздігі мен (1),(2) анықтамалары бойынша

m(A)≤ f(x,y) dxdy ≤ M𝑣(A),

m(A)≤ f(x,y) dxdy≤ M𝑣(A).

Сонымен әр шенелген f функциясының төменгі де, жоғары да интегралдары әрқашанда бар және олар нақты сандар.

Бір айнымалы функция жағдайындағы сияқты, әрқашанда

f(x,y) dxdy ≤ f(x,y) dxdy болатыны дәлелденеді.

А=[a,b]× [c,d] тіктөртбұрышында анықталған және шенелген f(x,y) функциясы үшін

f(x,y) dxdy = f(x,y) dxdy теңдігі орындалады, онда

f(x,y) функциясы A тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралданады деп, ал жоғарғы және төменгі интегралдардың ортақ мәні f(x,y) А-дағы интегралы деп аталып,

f(x,y) dxdy не f(x,y) dxdy

символымен белгіленеді. Бұл белгілеудегі dxdy өрнегі 𝑣(A_ij)= x_i y_i көбейтіндісін береді. Сонда d𝑣=dxdy деп алып, интегралды

f(x,y) d𝑣 = fd = fd𝑣

ықшам түрінде белгілейміз.