Читайте также:
|
1 теорема. Егер f функциясы А тіктөртбұрышында интегралданса, онда әрбір с нақты саны үшін c*f функциясы да сол жиында интегралданады да 
(1) теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі. Егер c=0 болса, онда (1) теңдігінің орындалуы айқын, өйткені оның екі жағы да нөлге айналады. Енді c<0 болсын. Әр P=(
)бөлшектенуі үшін 
Дәл осылай 
, сондықтан, 
сондай-ақ 
. Бұдан f функцияның интегралданатынын ескере отырып, 
сол сияқты 
болатынын көреміз. Сол себептен 
яғни cfфункциясы расында да интегралданып, (1) теңдігі орындалады. Енді c>0 қалды. Теореманың дәлелденген бөлігін екі рет қолданып, әуелі (-c)f, сонан соң (-1) (-c)f=cf функциясы интегралданып, 
,теңдігі орындалатын көреміз. Теорема толық дәлелденді.
2 теорема. Егерде 
және 
функциялары А тіктөрт-да интегралданса, онда сол жиында олардың қосындысы да интегралданып, 
(2)
теңдігі орындалады.
3 теорема. 
тіктөртбұрышында интегралданатын 
функциялары мен 
нақты сандары берсін. Онда 
функциясы да А жиынында интегралданып
, теңдігі орындалады.
Интегралдың аддитивтік қасиеті. 4 теорема. A=[ 
Тіктөртбұрышы мен оның 
бөлшектеуі берілсін. f Функциясы А жиынында анықталған және шенелген болсын. Онда f функциясы A тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралдану үшін f функциясы әр 
(i=1,…,k; j=1,…,l) тіктөртбұрышында интегралдануы қажетті және жеткілікті. Бұл жағдайда 
теңдігі орындалады.
3.Теңсіздіктерді интегралдау. Орташа мән туралы теоремалар. 5 теорема. Егерде А тіктөртбұрышында 
және 
функциялары интегралданып, әр (x,y) 
үшін 
теңсіздігі орындалса, онда 
болады. Соның ішінде, егер А тіктөртбұрышында f функциясы интегралданып, әр (x,y) үшін f(x,y) 
болса, онда 
. Дәлелдеуі. f(x,y)= 
Болсын, онда әрбір (x,y) 
үшін 
теңсіздігі орындалады. 3 – теорема бойынша f функциясы А жиынында интегралданады. Кез келген P=() бөлшектеуі үшін 
(i=1,…,k; j=1,…,l),U(P,f)= 
демек, 
,яғни (23), сонымен бірге (22) – де дәлелденді.
6 теорема. a<b Және c<d сандары беріліп, A=[a,b]*[c,d],тіктөртбұрышында f функциясы интегралдансын. Егерде қайсыбір m және M сандары мен әрбір (x,y) үшін m 
болса, онда 
(24) теңдігі орындалатындай 
саны табылады. Егерде f функциясы А жиынында үзіліссіз болса, 
онда саны ретінде функцияның мәнін алуға болады, яғни қайсыбір (
үшін 
(
) 
.
7 – теорема. Егерде f функциясы А тіктөртбұрышында интегралданса, онда 
функциясы А жиынында интегралданып 
, теңсіздігі орындалады.
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |