Читайте также:
|
|
Жазықтықта шенелген Ω жиыны беріліп нақты мәнді функциясы Ω жиынында анықталсын. Мақсатымыз - Ω жиыны бойынша алынған
(1)
Интегралын анықтау. Ω жиыны үшбұрыш,дөңгелек т.б.фигуралар болу мүмкін.
(1)түріндегі интегралдың анықтамасы А тіктөртбұрышы бойынша анықталған Риман интегралына былай келтіріледі. Ω⊂R2 Жордан бойынша өлшенетін жиын болсын. Ω⊂А болатындай А тіктөртбұрышын алайық. R2 жиынында А жиынында да fΩ функциясын былай анықтайық:
fΩ(x,y)= (2)
мұндағы теңдікті fΩ(x,y)=f(x,y)XΩ(x,y) көбейтінді түрінде бейнелеуге болады.
Егерде dxdy (3)
Интегралы бар болса, онда f(x,y) функциясы Ω жиынында Риман бойынша интегралданады, (3) санын функцмясының Ω жиыны бойныша алынған интегралы деп,(1)символымен белгілейді.
Ал fΩ(x,y) функциясы А жиынында интегралданбаса, онда функциясы Ω жиынында интегралданбайды дейді.
Ω жиынында =1 тұрақты функциясы интегралдануы үшін Ωжиының Жордан бойынша өлшенетін жиын болуы қажетті де сонда
Теңдігі орындалады. Сол себептен де (1) интеграл анықтамасына Ω жиыны Жордан бойныша өлшенуі туралы деп қойылған.
1. Сызықтық қасиеті
Егер және функциялары Жордан бойынша өлшенетін жиынында интегралданса, яғни
Ω
интегралдары бар болса, онда әр с₁ және с₂ нақты сандары үшін с₁ Ω және с₂ Ω функциялары, сонымен бірге олардың қосындысы да А тіктөртбұрышында интегралданып
Ω Ω Ω Ω Ω Ω
2. монотондық қасиеті
Егер Жордан бойынша өлшенетін өлшенетін жиынында интегралданатын және функциялары беріліп, әр үшін болса, онда
теңсіздігі орындалады.
Расында да, болғанда, Ω болып,
Ω Ω
болады, ал болғанда Ω болып,
Ω Ω
болады, демек, әр үшін
Ω Ω
Сондықтан
Ω Ω
Сондай-ақ Ω = Ω болғандықтан,
Ω Ω Ω
4 теорема. Жазықтықта Жордан бойынша өлшенетін жиыны мен оның Жордан бойынша өлшенетін жиындарына жіктеу берілсін. Онда Ω жиынында анықталған f(x) шенелген функциясы Ω жиынында интегралдануы үшін оның әр (k=1,…,N) жиынында интегралдануы қажетті де жеткілікті. Сонда
= (1)
Теңдігі орындалады.
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 54 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |