Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Жордан өлшемді жиындар үшін екі еселі Риман интегралы. Қасиеттері.

Жазықтықта шенелген Ω жиыны беріліп нақты мәнді функциясы Ω жиынында анықталсын. Мақсатымыз - Ω жиыны бойынша алынған

(1)

Интегралын анықтау. Ω жиыны үшбұрыш,дөңгелек т.б.фигуралар болу мүмкін.

(1)түріндегі интегралдың анықтамасы А тіктөртбұрышы бойынша анықталған Риман интегралына былай келтіріледі. Ω⊂R² Жордан бойынша өлшенетін жиын болсын. Ω⊂А болатындай А тіктөртбұрышын алайық. R² жиынында А жиынында да f_Ω функциясын былай анықтайық:

f_Ω(x,y)= (2)

мұндағы теңдікті f_Ω(x,y)=f(x,y)X_Ω(x,y) көбейтінді түрінде бейнелеуге болады.

Егерде dxdy (3)

Интегралы бар болса, онда f(x,y) функциясы Ω жиынында Риман бойынша интегралданады, (3) санын функцмясының Ω жиыны бойныша алынған интегралы деп,(1)символымен белгілейді.

Ал f_Ω(x,y) функциясы А жиынында интегралданбаса, онда функциясы Ω жиынында интегралданбайды дейді.

Ω жиынында =1 тұрақты функциясы интегралдануы үшін Ωжиының Жордан бойынша өлшенетін жиын болуы қажетті де сонда

Теңдігі орындалады. Сол себептен де (1) интеграл анықтамасына Ω жиыны Жордан бойныша өлшенуі туралы деп қойылған.

1. Сызықтық қасиеті

Егер және функциялары Жордан бойынша өлшенетін жиынында интегралданса, яғни

_Ω

интегралдары бар болса, онда әр с₁ және с₂ нақты сандары үшін с₁ _Ω және с₂ _Ω функциялары, сонымен бірге олардың қосындысы да А тіктөртбұрышында интегралданып

_{Ω Ω Ω Ω Ω Ω}

2. монотондық қасиеті

Егер Жордан бойынша өлшенетін өлшенетін жиынында интегралданатын және функциялары беріліп, әр үшін болса, онда

теңсіздігі орындалады.

Расында да, болғанда, _Ω болып,

_{Ω Ω}

болады, ал болғанда _Ω болып,

_{Ω Ω}

болады, демек, әр үшін

_{Ω Ω}

Сондықтан

_{Ω Ω}

Сондай-ақ _Ω = _Ω болғандықтан,

_{Ω Ω Ω}

4 теорема. Жазықтықта Жордан бойынша өлшенетін жиыны мен оның Жордан бойынша өлшенетін жиындарына жіктеу берілсін. Онда Ω жиынында анықталған f(x) шенелген функциясы Ω жиынында интегралдануы үшін оның әр (k=1,…,N) жиынында интегралдануы қажетті де жеткілікті. Сонда

= (1)

Теңдігі орындалады.