Читайте также:
|
Теорема. n оң бүтін саны мен 
жиынында Жордан бойынша өлшенетін ашық 
жиыны берілсін. 
функциясы 
жиынында үзіліссіз дифференциалданып, мен 
жиындарының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатып,әр 
үшін 
болсын.Онда
болатын Жордан бойынша өлшенетін әр 
жиыны мен сонда анықталған және интегралданатын әр f(x) функциясы үшін 
теңдігі орындалады.
► 1-лемма. 
ашық жиыны берілсін.Онда функциясы 
(2) шарттарын қанағаттандырса,онда 
жиыны да ашық болып,кері 
функциясы үшін
(2*) шарттары орындалады.
2-лемма. ашық жиынында (2) шарттарын қанағаттандыратын функциясы берілсін.Егерде жиыны жиынында шекарасымен бірге жатып,Жордан бойынша өлшенетін жиын болса,онда 
жиыны да Жордан бойынша өлшенетін жиын болады. ► 1˚. 
(3) жиындар теңдігін,яғни шекараның бейнесі бейненің шекарасымен беттесетінін дәлелдейік.Расында да,кері функция туралы локалды теорема бойынша жиынының әр ішкі және әр сыртқы нүктелеріне 
тәртібі қолданылғанда олар жиынының сәйкес ішкі және сыртқы нүктелеріне ауысады,демек, жиынының шекаралық нүктелері жиынының шекаралық нүктелеріне ғана сәйкес келеді,яғни (3) дәлелденді. 2˚. Енді бейненің көлемі қаншаға өзгеретінін есептелік.Ең қарапайым жиын болатын кубтан басталық: ортасы 
нүктесі,қабырғасының ұзындығы 
саны болатын 
(4) кубында жатқан әр y нүктесі үшін көп айнымалы жағдайдағы Лагранж формуласы бойынша қайсыбір 
нүктелері үшін
(5) Егерде 
белгілеуін қолдансақ,онда (5) бойынша әр 
және әр 
үшін 
(5*) Бұдан 
жиыны ортасы 
нүктесі,ал қабырғалары 
болатын
кубында толық жатады: 
(8) 1˚-де дәлелденгендей, 
жиыны Жордан бойынша өлшенетін жиын болады.Сондықтан Жордан өлшеуішінің монотондық қасиеті мен (8),(7) және (4)бойынша 
(9)
Егерде 
жиыны үшін 
(10)
белгілеуін енгізсек,онда (6) және (10) бойынша (9) былай көшіріледі: 
(11) Сөйтіп,әр Т кубы мен оның g(T) бейнесінің көлемдері үшін (11) теңсіздігі орындалады. 3˚. 
тұйық жиыны ашық жиынында жатсын.Онда 
және 
жиындарының ара қашықтығы деп аталатын 
(12) саны оң сан болады.Расында да,ол нөлге тең болса,онда инфимум анықтамасы бойнша әр оң бүтін 
саны үшін 
(13) болатындай 
нүктелері табылар еді.Ал жиыны шенелген және тұйық жиын болғандықтан, 
тізбегінен қайсыбір 
нүктесіне ұмтылатын 
тізбекшесін бөліп алуға болады. Бұдан,(13) және 
теңсіздігінен 
теңдігі шығады,ал жиыны ашық жиынының толықтауышы ретінде тұйық болғандықтан, 
болады.Сонымен, 
,ал бұл 
кірістіруінен шығатын 
жиындар теңдігіне қайшы келеді,яғни (12) саны оң сан болатыны дәлелденді. 4˚. Енді іштей қиылыспайтын кубтардың ақырлы біріктіруі болып, 
(14) кірістірулерін қанағаттандыратын W жиынын құралық.Ол үшін алдымен 
санын 
(15) болатындай етіп таңдап алайық.Сонда 
(16) болатын әр жағдайда 
(17) кірістіруі орындалады.Расында да (17) кірістіруіне қайшы 
жиынынан 
болатындай 
нүктесі табылса,онда және жиындарының ара қашықтығы диаметрінен аспас еді: (16) және (12) бойынша 
демек,(15) бойынша 
мүмкін емес теңсіздігіне келер едік.Сонымен (16) шарты орындлған сайын (17) кірістіруі орындалып, 
бойынша анықталған 
кубтардың ақырлы біріктіруі үшін 
кірістіруі орындалады,яғни (14) дәлелденді. 5˚. Вейерштрасс теоремасы бойынша тұйық және шенелген 
жиынында үзіліссіз 
функциялары әр i мен j үшін шенелген болып, (10) бойынша анықталған 
(19) өрнегі де ақырлы болады. 6˚. Осы дайындықтардан кейін,Жордан бойынша өлшенетін жиынның бейнесі де Жордан бойынша өлшенетінін дәлелдей аламыз.Ықшамдау үшін төмендегі белгілеуді еске салайық 
(18) 
оң саны берілсін.Онда 
жиыны Жордан өлшемі нөлге тең жиын болғандықтан,барлық 
үшін 
(20) болатындай 
саны табылады.Демек,әр 
үшін (6) бойынша 
(21) сол себептен әр 
үшін 
(22) болады.Бұлардан және (21),(8),(11),(10),(22),(20) бойынша 
(23) кірістіруі мен 
(24) (23) және (24) бойынша 
жиыны,демек,(3)бойынша оған тең 
жиыны да Жордан өлшемі нөлге тең жиын болып,сол себептен жиыны Жордан бойынша өлшенетін жиын болады.◄
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 202 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |