Читайте также:
|
Тh: ƒ(x,y) функциясы A=[a,b]*[c,d] тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралдансын. Онда әр a≤x≤b үшін 
= ƒ(x,y) функциясының [c,d] сегментіндегі төменгі және жоғарғы интегралдарына сәйкес 
(x)= 
(x,y)dy және 
(x)= 
(x,y)dy (1) функцияларының әрқайсысы [a,b] сегментінде интегралданып,
= 
(x,y)dy]dx (2) және
= 
(x,y)dy]dx (3) теңдіктері орындалады.
Дәлелдеуі: Әуелі 
={a= 
≤ 
≤…≤ 
=b} және 
={c= 
≤ 
≤…≤ 
=b} бөлшектеулері бойынша құрылған А тіктөртбұрышының P=(
) бөлшектеуі үшін L(ƒ,P)≤L(, 
) (4) болатынын дәлелдейік.
L(ƒ,P)= 
(ƒ)Δ 
Δ ,
L(, )= 
()Δ . Әр xϵ[ 
, ] үшін ƒ(x,y)= (y) белгілеуін ескереміз. Демек, 
(ƒ)Δ саны (x) функциясының [ , ] сегментіндегі төменгі шекаралары және де шекараларының бірі ғана, ал 
() инфимумы төменгі шекараларының ең үлкені болғандықтан, (ƒ)Δ 
≤ = ().
Сондықтан
L(ƒ,P)= 
(ƒ)Δ ) Δ ≤ ()Δ = L(, ), яғни (4) дәлелденді. Жоғарғы қосындылар үшін U(
)≤U(ƒ,P) (5) теңсіздігі де осылай дәлелденеді. Жоғарғы интеграл төменгі интегралдан әрқашанда кем болмайды, сондықтан (1) бойынша әр xϵ[ , ] үшін (x) ≤ (x) ≤sup (x)= 
(). Сөйтіп, () ≤ (). Әр i үшін бұл теңсіздікті Δ ≥0 санына көбейтіп, сонан соң сол теңсіздіктердің бәрін қосып,
U(, )= 
()Δ ≤ ()Δ =U() (6) теңсіздігіне келеміз. Әрқашанда орындалатын L(, )≤U(, ) теңсіздігіне қоса (4),(5),(6) теңсіздіктері бойынша әр , P= 
) бөлшектеулері үшін
L(ƒ,P) ≤ L(, ) ≤ U(, ) ≤ U() ≤ U(ƒ,P) (7) демек
0≤ U(, ) - L(, ) ≤ U(ƒ,P) - L(ƒ,P) (8).
Бұдан интеграл анықтамасы мен интегралдану критерийлері бойынша дәлелдеу керек болатын (2) теңдігіне келеміз.Теорема шарты бойынша ƒ(x,y) функциясы А жиынында Риман бойынша интегралданады, демек, екі айнымалы функция интегралдануының критерийі бойынша ε оң саны үшін 0≤U(ƒ,P*) - L(ƒ,P*)<ε болатындай Р*=( *, *) бөлшектеуі табылады. Демек, (8) бойынша 0≤ U(, *) - L(, *) ≤ ε, сондықтан бір айнымалы функция интегралдануының критерийі бойынша (x) функциясы [a,b] сегментінде интегралданады. Енді (2) теңдігін дәлелдейік. Интеграл анықтамасы мен (7) бойынша әр ε оң саны үшін 
dxdy-ε≤L(ƒ, 
)≤L(, 
)≤ 
(x)dx≤U(, )≤U(ƒ, )< dxdy + ε болатындай =(
, 
) бөлшектеуі табылады. Сол себептен 
dxdy - (x)dx |< ε, ал бұдан (2) теңдігі шығады. (3) теңдігі дәл осы әдіспен дәлелденеді.
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 260 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |