Читайте также:
|
Пусть график некой искомой функции y(x) станет образующей поверхности вращения зеркала прожектора вокруг оси Oy. Совместим начало декартовой системы координат xOy с источником света. Задача состоит в следующем. Форма зеркала должна быть такой, что луч света, падающий от источника O на поверхность зеркала в ее любой точке D отразившись должен пойти параллельно оси Oy.
Найдем вид функции y(x), чей график удовлетворит поставленным условиям. Введем обозначения. Пусть прямая AB является касательной к образующей поверхности вращения зеркала в ее произвольной точке D. Касательная AB пересекается с осью Oy в точке А. Точка D имеет координаты x и y в выбранной системе координат.
Наша цель – для любой точки D искомой линии установить общую зависимость между ее координатами в принятой системе координат: ординатой y (величиной отрезка OС) и абсциссой x (величиной отрезка СD), т.е. зависимость y(x). Эта зависимость должна удовлетворять условию поставленной задачи, а именно линия DL должна остаться параллельной оси Oy. Кроме того, зависимость y(x) должна удовлетворять некой закономерности поведения луча света, падающего и отражающегося от зеркальной поверхности. Эта закономерность уже известна: при зеркальном отражении света отраженный луч и падающий луч лежат в одной плоскости с нормалью к отражающей поверхности, проходящей через точку падения луча, и при этом всегда сохраняется равенство углов падения и отражения[1], т.е. 
.
Нам вряд ли удастся построить зависимость y(x) напрямую. Окажется проще сформировать уравнение, решением которого станет искомая функция y(x). Таким уравнением станет зависимость наклона касательной к образующей в точке D от положения точки D, т.е. от величин y и x.
Итак,
Но 
, как соответственные, образованные параллельными прямыми. Поскольку 
и 
в треугольнике OAD равны, он является равнобедренным, а значит:
Далее
(1.7)
Мы ищем аналитическую зависимость y(x), а из геометрического толкования производной tgα есть 
Таким образом выражение (1.7) можно представить в виде уравнения
(1.8)
относительно искомой функции y(x).
Таким образом, в поисках оптимальной формы зеркала прожектора мы построили дифференциальное уравнение, в котором в качестве неизвестной участвует функция y(x). Решив уравнение одним из математических методов решения дифференциальных уравнений, мы найдем вид этой функции. Ее график станет образующей оптимальной поверхности вращения зеркала.
Уравнение (1.8), как и ее частное решение - функция y(x) - это и есть математическая модель образующей отражателя прожектора с запрошенными свойствами.
Действительно, дифференциальные уравнения составляют наиболее весомую долю математических моделей окружающих нас явлений. И, как правило, они моделируют тенденцию проявления интересующей исследователя характеристики явления или объекта, в предположении, что эта характеристика безразрывно и плавно меняется (теорема Лагранжа) от точки к точке. В рассмотренной задаче о форме прожектора такой характеристикой стала ордината поверхности прожектора y в выбранной нами системе координат, плавно и неразрывно меняющаяся при изменении ее параметра x.
Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 45 | Нарушение авторских прав