Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Задача о форме зеркала прожектора

Читайте также:
  1. D1. Задача
  2. II. Заполнить пропуски модальными глаголами в нужной форме.
  3. III. Практическая задача
  4. III. Практическая задача
  5. VI. Проведение общего собрания собственников в очной форме.
  6. VII. Общее собрание собственников помещений в форме заочного голосования.
  7. А здесь же, в четвертой форме - ВЕРА – понятие Бога, понятие божественного знания, отвергается напрочь.
  8. А здесь же, в четвертой форме - ВЕРА – понятие Бога, понятие божественного знания, отвергается напрочь.
  9. А) две модели развития молодёжных конфликтов – в форме интеграции и дифференциации
  10. Акт по форме H-1 вместе с материалами расследования подлежит хранению в течение 45 лет на предприятии, работником которого является (был) пострадавший.

 

 

Пусть график некой искомой функции y(x) станет образующей поверхности вращения зеркала прожектора вокруг оси Oy. Совместим начало декартовой системы координат xOy с источником света. Задача состоит в следующем. Форма зеркала должна быть такой, что луч света, падающий от источника O на поверхность зеркала в ее любой точке D отразившись должен пойти параллельно оси Oy.

Найдем вид функции y(x), чей график удовлетворит поставленным условиям. Введем обозначения. Пусть прямая AB является касательной к образующей поверхности вращения зеркала в ее произвольной точке D. Касательная AB пересекается с осью Oy в точке А. Точка D имеет координаты x и y в выбранной системе координат.

Наша цель – для любой точки D искомой линии установить общую зависимость между ее координатами в принятой системе координат: ординатой y (величиной отрезка OС) и абсциссой x (величиной отрезка СD), т.е. зависимость y(x). Эта зависимость должна удовлетворять условию поставленной задачи, а именно линия DL должна остаться параллельной оси Oy. Кроме того, зависимость y(x) должна удовлетворять некой закономерности поведения луча света, падающего и отражающегося от зеркальной поверхности. Эта закономерность уже известна: при зеркальном отражении света отраженный луч и падающий луч лежат в одной плоскости с нормалью к отражающей поверхности, проходящей через точку падения луча, и при этом всегда сохраняется равенство углов падения и отражения[1], т.е. .

Нам вряд ли удастся построить зависимость y(x) напрямую. Окажется проще сформировать уравнение, решением которого станет искомая функция y(x). Таким уравнением станет зависимость наклона касательной к образующей в точке D от положения точки D, т.е. от величин y и x.

 

Итак,

 

 

Но , как соответственные, образованные параллельными прямыми. Поскольку и в треугольнике OAD равны, он является равнобедренным, а значит:

 

 

Далее

 

 

 

(1.7)

 

Мы ищем аналитическую зависимость y(x), а из геометрического толкования производной tgα есть Таким образом выражение (1.7) можно представить в виде уравнения

 

 

(1.8)

 

относительно искомой функции y(x).

Таким образом, в поисках оптимальной формы зеркала прожектора мы построили дифференциальное уравнение, в котором в качестве неизвестной участвует функция y(x). Решив уравнение одним из математических методов решения дифференциальных уравнений, мы найдем вид этой функции. Ее график станет образующей оптимальной поверхности вращения зеркала.

Уравнение (1.8), как и ее частное решение - функция y(x) - это и есть математическая модель образующей отражателя прожектора с запрошенными свойствами.

 

Действительно, дифференциальные уравнения составляют наиболее весомую долю математических моделей окружающих нас явлений. И, как правило, они моделируют тенденцию проявления интересующей исследователя характеристики явления или объекта, в предположении, что эта характеристика безразрывно и плавно меняется (теорема Лагранжа) от точки к точке. В рассмотренной задаче о форме прожектора такой характеристикой стала ордината поверхности прожектора y в выбранной нами системе координат, плавно и неразрывно меняющаяся при изменении ее параметра x.

 

 


Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 45 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2022 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав