Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Лекція 10

Читайте также:
  1. Вступна лекція
  2. Заняття 2 Лекція3/2. Методи аналізу та прогнозування розвитку середовища підприємства
  3. Заняття 3 Лекція 3/3. Стратегічний аналіз діяльності підприємства та вибір стратегічних позицій
  4. ЛЕКЦІЯ 1
  5. ЛЕКЦІЯ 1
  6. Лекція 1
  7. ЛЕКЦІЯ 1
  8. Лекція 1
  9. ЛЕКЦІЯ 1
  10. Лекція 1

Класс уравнений, для которых можно получить точное решение, то есть, аналитическую функцию, удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению и всем дополнительным условиям (задача Коши или краевая задача), очень узок. Чаще всего дифференциальные уравнения решаются приближенно.

 

1. Приближение решения с помощью степенного ряда. Представим, что мы должны решить задачу Коши для дифференциального уравнения -го порядка с начальным условием . Если функция в правой части уравнения разлагается в ряды по всем своим переменным, удобно искать решение дифференциального уравнения в окрестности точки в виде ряда Тейлора по степеням . Представим решение в виде . Из начальных условий и свойств коэффициентов ряда Тейлора следует, что все коэффициенты разложения вплоть до нам известны:

остальные – неизвестные – коэффициенты обозначаются буквами и определяются сравнением коэффициентов при одинаковых степенях, находящихся в обеих частях дифференциального уравнения.

 

П р и м е р. Решить следующую задачу Коши: , .

Искать решение будем в виде ряда по степеням . В соответствии с начальными условиями . Подставим хотя бы первые слагаемые рядов в уравнение:

Перемножим входящие в правую часть сомножители:

А теперь сравним свободные члены (они равны) и коэффициенты при , при и при : . Отсюда .

Мы могли бы и далее сравнивать коэффициенты при степенях в уравнении и получать значения других коэффициентов . Тем более применение программ MAXIMA упрощает этот процесс. В данном случае мы получили решение в виде ряда, первые члены которого известны: .

 

Задачу Коши для системы уравнений можно решать подобным способом.

 

2. Метод Эйлера и его модификации. Познакомимся с методом Эйлера численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка . Предположим, что мы должны решить задачу на отрезке . Разделим отрезок на равных частей, равных . Заменим на каждом отрезке , , решение дифференциального уравнения линейной функцией . При этом имеем узловые значения решения:

Мы здесь приравниваем отношение приращений функции и аргумента производной в точке, соответствующей началу отрезка разбиения:

.

 

Очевидно, что такое приближение является тем менее точным, чем дальше мы отойдем от точки . Метод Эйлера является наиболее примитивным. Здесь интегральная кривая заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков. Возможны его некоторые модификации, несколько улучшающие точность. Например, если брать постоянные значения в виде

.

 

Наиболее распространенным численным методом решения указанной задачи Коши является метод Рунге-Кутта.При решениидифференциального уравнения этим методом интегральная кривая заменяется ломаной, состоящей из кусков парабол. Метод Рунге-Кутта встроен в пакет программ MAXIMA.

 

 

П р и м е р. Пусть мы хотим решить дифференциальное уравнение с начальным условием . При этом мы задаем отрезок [0,1], на котором хотим получить численное решение и шаг разбиения этого отрезка, равный 0.05. Мы должны ввести команду

 

load(dynamics); rk(y^2+x,y,0.3,[x,0,1,0.05]);

После того, как мы нажмем клавиши Shift+Enter, получим данные

[[0,0.3],[0.05,0.30583128660202],[0.1,0.31438277172198],[0.15,

0.32574776902574],[0.2,0.34003114365951],[0.25,0.35735268712942],[0.3,

0.37785103897622],[0.35,0.40168830090343],[0.4,0.42905553899765],[0.45,

0.46017943684494],[0.5,0.49533045405802],[0.55,0.53483297195895],[0.6,

0.57907808748734],[0.65,0.62853997325452],[0.7,0.6837970957275],[0.75,

0.74556013793749],[0.8,0.81470931041585],[0.85,0.89234502470182],[0.9,

0.97985793824278],[0.95,1.079027666994073],[1.0,1.192164923146931]].

 

Это означает, что мы получили узловые значения решения: y(0.05)= 0.30583128660202,…, y(0.4)= 0.42905553899765,…..

 

 

Приближенное решение дифференциальных уравнений высших порядков сводятся к решению систем уравнений первого порядка. Например, требуется решить дифференциальное уравнение на отрезке [0,2] с шагом 0.1 при начальных условиях . Введем новую функцию . Теперь уравнение запишется в виде системы

с начальными условиями .

 

Для получения решения методом Рунге-Кутта вводим команду load(dynamics); rk([z,2-x*z^2-3*x^2*y], [y,z], [1,0], [x,0,2,0.1]).

 

Мы получим значения в узлах:

[[0,1,0],[0.1,1.009973277486667,0.19889443755825],[0.2,1.03953179049664,

0.39025908431976],[0.3,1.087443707860848,0.56407930484999],[0.4,1.151355476824082,

0.70808296273707],[0.5,1.227625229955781,0.80905909503231],[0.6,1.31132100772257,

0.85473889531278],[0.7,1.396404177611673,0.83546996450053],[0.8,1.476033430956961,

0.74483368487679],[0.9,1.542855824183935,0.57873490276185],[1.0,1.589128945076604,

0.33294944409803],[1.1,1.606518986789783,-9.8829227227875682*10^-4],[1.2,

1.585353126452777,-0.44308261198787],[1.3,1.512758668789601,-1.041803224981043],[1.4

,1.367721332806764,-1.927748829187044],[1.5,1.104119674291387,-3.562685524381777],[

1.6,0.55276102463945,-9.157645341403534],[1.7,-3.785389000081017,-789.9052329768924],

[1.8,-1.8741633219283803*10^14,-3.7934868677108632*10^30]].

 

Это означает, что, например, y(0.5)= 1.227625229955781,

z(0.5)= 0.80905909503231.

 

3. Графический метод. Метод изоклин. Этим методом можно решать дифференциальные уравнения первого порядка вида . Если нам необходимо построить интегральные кривые, которые являются графиками решений приведенного уравнения, в какой-то части плоскости , мы каждой точке этой области ставим в соответствие значение , которое совпадает с тангенсом угла наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Зная точку и направление движения по кривой из этой точки, мы по короткому отрезку в заданном направлении переходим к близкой точке, в которой также определяем направление движения,…. Так, двигаясь от точки к точке, мы построим соответствующую интегральную кривую, то есть, решим задачу Коши .

Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоугольной сетки в области определения правой части уравнения , получим изображение поля направлений.Когда узлы сетки расположены достаточно часто поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых. Именно так, построением

 

Для ручного изображения интегральных кривых достаточно удобен метод изоклин.Суть этого метода в том, что вычерчиваются линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: , k = const. Эти линии и называются изоклинами. Интегральные кривые пересекают каждую изоклину под постоянным углом . Построив достаточно частую сетку изоклин, нетрудно построить интегральную кривую, переходя от одно изоклины к другой. Например, для построения интегральных кривых уравнения роль изоклин играют окружности .

Реальное построение решения таким методом было бы очень сложным без применения компьютерной техники. MAXIMA содержит программу построения графических решений. Если мы введем load(plotdf); plotdf(f(x,y),[y,c,d],[x,a,b]), на экране появится прямоугольник , в точках которого указаны направления касательных к интегральным кривым, проходящим через эти точки. Это и есть поле направлений для заданного уравнения. Если щелкнуть курсором по выбранной точке на плоскости, компьютер нарисует интегральную кривую, проходящую через соответствующую точку.

 

Например, мы хотим построить интегральную кривую уравнения , расположенную в прямоугольнике и проходящую через точку (11,2) .

 

Введем load(plotdf); plotdf((5-x^2)/(2*x*y-y^2),[y,-7,9],[x,9,13]); и нажмем Shift+Enter. Мы получим выбранный прямоугольник с указанием направлений из точек прямоугольника. Теперь щелкнем по точке (11,2) , и нарисуется соответствующая интегральная кривая.

 

Домашнее задание. Решить уравнения с начальными условиями с помощью рядов. Найти коэффициенты до :

1) , .

2) , .

3) , .

 

Лекція 10

Тема.Теорія та технології розвитку зв’язного мовлення.

Мета вивчення:розкрити сутність поняття зв’язного мовлення; розкрити методику розвитку діалогічного мовлення, проведення бесід і полілогів; проаналізувати методику навчання дітей монологічного мовлення, навчання дітей розповіді за картинами; дати характеристику методів і прийомів навчання дітей монологічного мовлення.


Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 14 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2021 год. (0.119 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав