Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основні визначення. Множина - це деякий набір об'єктів, які не повторюються і називаються елементами

Читайте также:
  1. II. Основні засоби
  2. Uml; Основні теоретичні положення
  3. Uml; Основні теоретичні положення
  4. Базисні умови постачання відповідно до правил “Інкотермс-2000”. Основні обов’язки сторін за базисом постачання
  5. В) Екзистенціалізм та його основні напрями.
  6. В.Г. Афанасьєв називає наступні основні управлінські функції: вироблення і ухвалення управлінського рішення; організація; регулювання і корегування; облік і контроль.
  7. Валютна політика України. Основні напрями лібералізації валютного ринку та посилення внутрішньої стабільності гривні
  8. Вибір методу ціноутворення (методу визначення базової ціни).
  9. Види визначення понять
  10. Види норм витрат праці, їх класифікація та визначення.

 

Множина - це деякий набір об'єктів, які не повторюються і називаються елементами. Вона позначається в такий спосіб

А={a1,a2,…,an},

де А - множина, a1, a2,…,an - її елементи. Наприклад, множина А може складатися з натуральних чисел 1, 2, …, 6, при цьому її елементами будуть a1=1, a2=2, …, a6=6.

Будь-який набір, кожний елемент якого належить множині А, є його підмножиною, так В={1, 2, 3} - підмножина А={1, 2, 3, 4, 5, 6}, позначається ВÌ А. Довільна множина по цьому визначенню є власною підмножиною.

Усі використані в дискретній математиці множини містять елементи, що належать найбільшій множині S, яка називається простором елементів. Отже, всі використані множини - підмножини S.

Приклад. Нехай S={1, 2, …, 6}. Розглянемо формування підмножин множини S. З урахуванням порожньої підмножини Æ в множині S може бути виділене в цілому 26 = 64 підмножини:

Æ, {1}, …, {6}, {1, 2}, …, {1,2,6}, …, S.

У загальному випадку, якщо множина S містить n елементів, у ній можна виділити 2n підмножин.

Однією з причин застосування теорії множин у дискретній математиці є те, що для множин визначені важливі перетворення, що мають просте геометричне зображення. Це зображення зветься діаграмою Ейлера-Вена і у ній простір S зображається у вигляді квадрата, а різноманітні множини - у вигляді плоских фігур, обмежених замкненими лініями. Використання таких діаграм розглянемо на прикладі опису підмножин (рис.1.1).

 

С Ì U Ì А

S

А

C

U

 

 

Рис.1.1. Діаграма Ейлера-Вена для визначення множин

 

Звичайно кожне натуральне число сприймається як те спільне, що властиве будь-якій сукупності М, яка складається з m предметів; про це роблять запис вигляду m = |М|. Якщо усі m предметів із сукупності М попарно різноманітні, то сукупність цю іменують множиною, а також m- елементною множиною, при цьому число m називають кардинальним числом, а також потужністю множини М.

Якщо |М| = 0, то кажуть, що М - порожня множина і пишуть М = Æ. Якщо серед предметів, що входять у сукупність М, є однакові, то таку сукупність називають мультимножиною.

Кажучи про множину М, припускають, що М складається з елементів. Множину, що складається з кінцевого числа елементів, тобто має кінцеву потужність називають кінцевою. Множина, що не є кінцевое, називають нескінченною. Якщо x - елемент множини М, то цей факт записують у вигляді x Î М і кажуть "х належить М". Запис x Î М | P(x) означає, що розглядається множина, яка складається з елементів, що володіють властивістю Р, а записи М1 =íxÎМ: P(x)ý і аналогічний М1 = íx Î М | P(x)ý - що розглядається частина множини М, причому x Î М1 Û (x Î М & Р(x)). (Позначення: АÞВ - із твердження А випливає твердження В; АÛВ - з А випливає В і навпаки).

Можливо, що М1 = 0 або М1 = М. У будь-якому випадку про множину М1 кажуть, що вона - підмножина множини М або співпадає з нею і пишуть М1 Í М. Якщо М1 Í М і М Í М1, то пишуть М1 = М та називають М1 і М рівними множинами. Якщо М1 Í М, але М1 ¹ М, то пишуть М1 Ì М, тобто М1 строго включена в М. Якщо ж просто М1 Í М, то кажуть про включення М1 у М.

Нехай А Í R. Тоді надалі А+=íx Î А: x > 0ý, так що R+ = í x Î R: x >0ý, Z+ = íx Î Z: x > 0ý = í1,2,...,ý = N+.

Якщо хоча б одним спобом можна пронумерувати (перерахувати) за допомогою усіх натуральних чисел n Î N всі елементи нескінченної множини М, то кажуть, що М має зліченну потужність або є зліченною множиною, і пишуть |М| = |N|. Замість |N| пишуть іноді одну букву a (готичне а). Наприклад, множина Z зліченна, тому що це легко вбачається в наступному записі чисел одне під іншим:

Z = í...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,... ý,

N = í..., 6, 4, 2, 0, 1, 3, 5,... ý.

У загальному випадку, якщо між елементами множин X і Y можна встановити взаємно однозначну відповідність (тобто кожному елементу x Î X поставити у відповідність один і тільки один елемент y Î Y, але так, щоб при цьому кожному y Î Y також буде поставлений у відповідність деякий елемент x Î X), то кажуть, що множини X і Y мають те саме кардинальне число, або мають однакову потужність, або є рівнопотужними і пишуть |X| = |Y|. Запис |X| < |Y| означає, що |X| ¹ |Y|, але для деякої підмножини Y1 Ì Y виконується |X| = |Y1|. Наприклад, множина Q має рахункову потужність, а множина R має більш високу потужність (континуальну потужність ‚), так що A = |N| = |Q| < |R| = ‚, де ‚ - готичне ‚. Таким чином, 0, 1, 2,... - усі кінцеві кардинальні числа, A і ‚ - два нескінченні кардинальні числа; відзначимо, що нескінченних кардинальних чисел існує як завгодно багато.

 




Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав