Читайте также:
|
Поняття розбиття множини. Нехай А - множина учнів якийсь школи. Позначимо через А1 множину учнів першого класу, А2 - множину учнів другого класу і т.д., А10-множина учнів десятого класу цієї школи. Ясно, що А1, А2, ¼, А10- підмножини множини А, причому кожна з них не порожня (у кожному класі, звичайно, є учні), вони попарно не мають загальних елементів (не може та сама людина навчатися одночасно в двох різних класах), і об'єднання всіх дорівнює А.
Говорять, що сукупність підмножин множини М утворить її розбиття, якщо кожне з цих підмножин не порожньо, будь-які два з них не мають загальних елементів і об'єднання всіх їх дорівнює М.
Таким чином, у прикладі, розглянутому вище, сукупність підмножин А1, А2, ¼, А10 утворить розбиття множини А.
Якщо А={1, 2, 3, 4, 5, 6}, то сукупність підмножин {1, 3}, {2, 4, 6}, {5} множини А утворять її розбиття, а сукупність підмножин {1, 2, 3}, {4, 5}, {3, 6} розбиття не утворять, тому що два з них мають спільний елемент.
Отже, висловлюючись образно, під розбиттям множини ми будемо розуміти "розбивку" її на частини або підмножини. Ясно, що одна і та ж множина може бути "розбита" на частини по-різному. Наприклад, якщо В={a, b, c, d, e, f, g}, то сукупності її підмножин {a, b, c}, {d, e, f, g} і {a, b}, {c, d}, {e, f, g} утворять його розбиття, але різні. Тобто В розділено на підмножини по-різному.
Розбиття будемо позначати малими літерами грецького алфавіту: r, s, d і т.д.
Класи розбиття. Нехай М - множина і r - деяке її розбиття. Кожне з підмножин сукупності, що утворить розбиття r, називається класом розбиття.
Наприклад, якщо В={a, b, c, d, e, f, g} і r - розбиття множини В, утворене сукупністю її підмножин {a, b}, {e, d, f}, {c}, {g}, то кожне з цих підмножин є класом даного розбиття r.
Якщо тепер зобразити множину за допомогою діаграми Ейлера-Вена, то її розбиття можна уявити наочно, у вигляді розірваного на частини кола (рис.1.7). Кожна така частина і є класом даного розбиття.
У тому самому класі розбиття множини М може утримуватися декілька (і навіть нескінченно багато) елементів із М. Якщо елементи x, y Î М належать тому самому класу даного розбиття r, то цей факт ми будемо позначати в такий спосіб: x~y(r). Наприклад, для розглянутого вище розбиття s множини В можна записати a~b(s), d~e(s),¼, а запис c~d(s) помилковий, тому що c і d належать різним класам розбиття s. Оскільки елементи a і а, звичайно, лежать
Рис.1.7. Розбиття множини
у тому самому класі розбиття, тому що це один і той же елемент, то можна записати a ~a(s). Аналогічно b~b(s), c~c(s) і т.д.
Нехай далі для розбиття r множини М і деяких x, y, zÎМ має місце x~y(r) і y~z(r). Запис x~y(r) означає, що елементи x і y належать тому самому класу нашого розбиття. Аналогічно y і z знаходяться в одному й тому же класі. Якщо тепер припустити, що x і z лежать у різних класах розбиття r, то одержимо, що ці класи мають загальний елемент y, а це неможливо. Виходить, x~z(r).
Таким чином ми довели, що якщо x~y(r) і y~z(r), то x~z(r).
Кожний клас даного розбиття r множини М, по визначенню, не порожній, тобто в кожному класі знаходяться елементи з М.
Наприклад, для розбиття s множини В, розглянутих вище, клас розбиття {a, b} можна позначити `a, тому що він містить елемент a. Але цей же клас містить і елемент b, виходить, його можна позначити `b. Таким чином, {a, b}=`a =`b. Аналогічно {e, d, f} =`e =`d =`f.
У нас вийшло, що той самий клас розбиття позначається по-різному. Це не повинно вас здивовувати. І в математиці, і в житті ви не раз зустрічалися з такою ситуацією. Наприклад, дроби 1/2, 2/4, 3/6,¼ - це ті самі числа, що позначаються по-різному.
Повернемося тепер до загального випадку розбиття r множини М. Якщо деякий клас розбиття містить елементи x і y множини М, то, з одного боку, він позначається `x, а з іншого - y, тобто `x =`y. Таким чином ми довели, що з x~y(r) випливає `x =`y.
Нехай тепер, навпаки `x =`y. Але `x - це клас, що містить елемент y, і ці класи рівні, тобто це той самий клас. Виходить, x і y знаходяться в тому самому класі розбиття, тобто x~y(r). З наведених вище міркувань ми можемо зробити такий висновок:`x =`y тоді і тільки тоді, коли x~y(r).
Фактор-множина. Розглянемо побудоване вище розбиття s множини В. Підмножини {a, b}, {e, d, f}, {c}, {g} є класами цього розбиття. Згідно з нашою домовленістю їх можна позначити, наприклад, `a, `e, `c, `g відповідно. Таким чином, із розбиттям s пов'язана сукупність його класів розбиття, тобто множина {`a,`e, `c,`g }.
В загальному випадку, якщо r - деяке розбиття довільної множини М, то з цим розбиттям пов'язана сукупність його класів.
Сукупність усіх класів даного розбиття r множини М називається фактор- множиною множини М за розбиттям r і позначається М/r.
Таким чином, елементами множини М/r є класи даного розбиття r та інших елементів у ньому немає.
Якщо ми повернемося до розбиття r множини М, наведеному на рис.1.7, то множина М/r складається зі шматків (рис.1.8), на які ми розрізали коло, що зображує множину М. Далі для нашого розбиття множини В маємо В/s = {`a, `e, `c, `g }. Відомо, що елементи множини В/s можна позначити по-іншому і тоді, наприклад, В/s={`b, `f, `c, `g}.
 |  | ||||||||||||
 |  | ||||||||||||
 |  |  | |||||||||||
М/r =,,,,,
 |
Рис.1.8. Компоненти розбитої множини
Нехай тепер d - розбиття множини В, класами якого є підмножини {a, b, c, d}, {e, f, g}. Тоді В/d={`a, `e}. Звертаємо вашу увагу на те, що `a в В/s і `a в В/d - це різні елементи. Наприклад, кінотеатр "Мир" у Мінську і кінотеатр "Мир" у Москві - це різні кінотеатри, і хоча вони називаються однаково, це не викликає непорозумінь. Не буде їх і в нашому випадку з розбиттями, тому що завжди ясно про яке розбиття йде мова.
Зауважимо, що М/r - це сукупність лише деяких (не усіх) підмножин множини М, а 2М- сукупність усіх. Виходить, що М/r Ì 2М, більш того, М/r - власна підмножина множини 2М.
Отже якщо множина М скінченна, то і будь-яка його фактор-множина в залежності від розбиття може бути як скінченна, так і нескінченна.
Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 104 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |