Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Декартів добуток множин

Розглянемо деякі додаткові терміни, характерні для операцій над множинами.

Вектор - це упорядкований набір елементів, інший синонім цього терміна - “кортеж”.

Елементи, що утворюють вектор, називаються координатами або компонентами вектора. Координати нумеруються зліва направо. Число координат називається довжиною або вимірністю вектора. Вектор будем брати в круглі дужки, наприклад (0, 5, 4, 5). Іноді дужки і навіть коми опускаються.

Вектори довжини 2 часто називаються упорядкованими парами.

Два вектори рівні, якщо вони мають однакову довжину і відповідні координати їх рівні. Інакше кажуть, вектори (а₁, …, а_m) і (b_1,…., b_n) рівні, якщо m = n і a₁ = b₁, a₂ = b₂,..., a_m = b_n.

Прямим (декартовим) добутком множин А і В (позначають А ´ В) називається множина усіх пар (а, в), таких що аÎА і вÎВ. Зокрема, якщо А=В, то обидві координати належать А. Такий добуток позначається А². Аналогічно прямим добутком множин А₁, …, А_n (позначення А₁ ´ … ´ А_n) називається множина усіх векторів (а₁, …, а_n) довжини n таких, що а₁ÎА₁…... а_nÎА_n. А ´ А ´ … ´ А і позначається Аⁿ.

Приклад 1. Множина R ´ R=R² - це множина точок площини, точніше пар (а, в), де а, вÎR і є координатами точок площини.

Приклад 2. Якщо А={а, у, c, d, e, f, g, h}, B={1, 2, …, 8}, тоді А ´ В ={a1, a2, a3, …, h7, h8} – множина, що містить позначення всіх 64 клітин шахівниці.

Приклад 3. Розглянемо множину числових матриць 3 ´ 4, тобто матриць вигляду

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄,

де а_ij належить множині R дійсних чисел. Рядки матриці - це елементи множини R⁴ (вектори вимірністю 4). Сама матриця, розглянута як упорядкований набір (тобто вектор) рядків, - це елемент множини (R⁴)³=R⁴ ´ R⁴ ´ R⁴. Компоненти матриці, заданої в такий спосіб, - рядки, а не числа. Тому (R⁴)³¹R¹². Змістовний сенс цієї нерівності в тому, що у векторі R¹² не міститься ніякої інформації про будову матриці, той же вектор міг би перераховувати елементи 4 ´ 3 або 2 ´ 6, що як математичні об'єкти не збігаються з матрицями 3 ´ 4.