Читайте также:
|
|
Теория игр занимается разработкой разного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру 2-х, 3-х и более игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своего выигрыша за счет других игроков. Иногда теорию игр определяют как раздел математики, занимающейся выработкой оптимальных правил поведения для каждой стороны, участвующей в конфликтной ситуации. Совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий стороны в конкретной конфликтной ситуации, есть стратегия.
Под термином «игра» понимается совокупность предварительно оговоренных правил и условий, а термин «партия» связан с конкретной возможной реализацией этих правил. Если в игре участвуют n партнеров P1, P2,…, Pn, то основное содержание теории игр состоит в изучении проблемы: как должен вести себя конкретный игрок Pj для получения наиболее выгодного исхода.
Исход игры Vj - выигрыш
(vj >0, vj=0, vj<0)
В большинстве случаев рассматриваются игры с нулевой суммой:
Примерами такой игры служат многие экономические задачи. Игры, в которых участвуют 2 игрока, называются парными, если больше – множественными.
Если в ходе игры игроки могут составлять какие-то коалиционные группы, то такие игры называются коалиционными.
Если в игре заранее определены коалиции, то такие игры называются кооперативными. В дальнейшем будем рассматривать парные игры с нулевой суммой.
В зависимости от поведения игроков результат игры может определяться в виде матрицы, и такие игры называются матричными.
P1; A1, A2, …,Am
P2; B1, B2, …,Bn
(Ai, Bj)=aij – выигрыш первого игрока и проигрыш второго.
Пример 1
Пусть первый игрок (P1) выбирает одну из сторон монеты. Второй (P2) также выбирает одну сторону. Условия игры: подбрасывается монета. Если выбор стороны совпали, то P1 выигрывает 1, если несовпали, то выигрывает второй.
P1 P2 | P | |
-1 | ||
P | -1 |
Пример 2
Пусть 2 игрока могут выбрать 1, 2, 3 пальца. Если сумма четная, то выигрывает первый – нечетная второй.
P2 P1 | B1 | B2 | B3 |
A1 | -3 | ||
A2 | -3 | -5 | |
A3 | -5 |
В общем виде в зависимости от имеющейся в наличии у каждого из игроков стратегии, результат игры можно описать при помощи платежной матрицы:
где aij→(Ai; Bj)
Каждый игрок старается выбрать наиболее выгодную для себя стратегию. При этом первый игрок старается максимизировать свой выигрыш, а второй минимизировать свой проигрыш. В этой связи вводятся понятия нижней чистой цены игры ( ) и верхней чистой цены игры (β)
=max min aij’ (максимин -наилучший вариант для 1-го игрока в
i j наилучших для него условиях)
j
£=£i0 →Ai0, выигрыш будет не менее £
Ai0 – максимальная стратегия.
β=min max aij’ (минимакс)
j i
βi
β=βj0 →Bj0, выигрыш будет не менее £
Bj0 – минимаксная стратегия.
Теорема: всегда ≤β
=max min aij = max £i
i j i
£i ≤ aij
β=min max aij =min βj
j i j
βj ≥ aij
£i ≤ aij ≤ βj,Vi,j
Может оказаться, что £=β; £=£i0 →Ai0
β=βj0 →Bj0
В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях. £ седловая точка (седловой элемент)
Пример: выявить наличие седловых элементов матричной игры
Bj Ai | B1 | B2 | B3 | B4 | Bj |
A1 | -3 | -3 | |||
A2 | |||||
A3 | |||||
Ai |
=max i = max {-3;0;1}=1= 3
i
- максиминная стратегия для 1-ого игрока
β=min βj =min {2;5;5;6}=2=β1
j
- минимаксная стратегия для 2-ого игрока.
Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |