Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение биматричных игр 2х2

Пусть матрицы A и B равны:

Смешанные стратегии для первого и второго игроков имеют вид:

А средние выигрыши

Условия для ситуации равновесия имеют вид:

(4)
(5)

Проведя простые алгебраические преобразования в (4), получим:

С целю упрощения записи в последних неравенствах положим

Тогда получим (4) в следующем виде:

Итак, множество всех приемлемых стратегий для первого игрока удовлетворяет условиям (6) и (7), , . Чтобы найти х рассмотрим 3 случая:

1) Если , то (7) верно при любом у, а (6) имеет вид:

2) Если , то(6) верно при любом у, (7) имеет вид:

3) Если , то (6) разделим на (1-х), (7) - на х и получим:

или

Итак, множество К решений систем (6), (7) состоит из:

1) Всех ситуаций вида (0, у), где

2) Всех ситуации вида (х, у), где

3) Всех ситуаций вида (1, у), где ,

Если а₁=а₂=0, то решением является так как все неравенства (8) - (10) выполняется при таких х и у.

Если а₁ = 0, а₂ ≠ 0, то выполняется либо (8), либо (9), и поэтому решением является либо х = 0, либо х = 1 при 0 ≤ у ≤ 1.

Если а₁>0, то из (8) получается решение:

из (9) следует решение х=1, у ≥ α, из (10) следует еще решение 0<х <1, у = α.

Если а₁ <0, то решение следующее:

При этом надо помнить, что дополнительно должно быть:

0 ≤ у ≤ 1

Для второго игрока исследования аналогичны.

Если ввести обозначения:

то множество L приемлемых для него ситуаций состоит из:

1) Всех ситуаций вида (х, 0), где

2) Всех ситуации вида (х, у), где

3) Всех ситуаций вида (х, 1), где

Результаты следующие:

если b₁=b₂=0, то решение

если b₁=0, b₂≠0то решение либо у=0, либо у=1 при

если b₁>0, то решения следующие:

если b₁<0, то решения следующие:

При этом надо помнить, что

Решение игры является пересечение множеств K и L, то есть те значения х и у, которые являются общими для множеств K и L. Средние выигрыши при этом определяются по формуле (1), если в них подставить полученное решение х и у.