Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Общие сведения. Пусть имеется сложная система

Читайте также:
  1. Discourse Analysis (DA): общие замечания
  2. I. Общие компетенции.
  3. I. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
  4. I. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
  5. I. ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
  6. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  7. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  8. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  9. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
  10. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Пусть имеется сложная система. При исследовании целевой функции у в области экстремума (стационарной области) модель первого порядка является уже недостаточной. Более подходящей моделью для аппроксима­ции локального участка функции отклика является регрессионная модель второго порядка

M{y}=b0+åbjxj+åbjlxjxl+åbjjxj2, j,l=1..k, l<j (3.1)

где b0,bj,bjl ,bjj — коэффициенты регрессии.

Планы проведения эксперимента, необходимого для построения мо­дели второго порядка, отличаются от линейных планов тем, что факторы варьируются на нескольких (минимум на трех) уровнях. В связи с этим на практике используются центральные композиционные планы (ЦКП), со­стоящие из трех блоков, включающих:

1) ядро плана — точки Nф= 2k полного или дробного факторного эксперимента Nф = 2 k-p

2) «звездные» точки N а = 2 k;

3) нулевые (центральные) точки N 0.

Общее число N точек ЦКП N = N ф + N а + N 0.

При построении планов используют различные критерии оптималь­ности планирования. Наиболее широко применяются ортогональные, ротатабельные и D-оптимальные планы.

При ортогональном планировании коэффициенты уравнения регрес­сии оцениваются независимо с минимальными дисперсиями. Причем фак­торы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пере­счета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо делать при неортогональных планах.

Ротатабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения функции отклика с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.

Точность оценивания коэффициентов регрессии характеризуется эл­липсоидом рассеивания их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был мини­мальным, называется D-оптимальным.

В настоящей работе рассматривается ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все оценки коэффициентов являются не­зависимыми друг от друга.

При ОЦКП к ядру N ф плана добавляют 2 k звездных точек с коор­динатами, включающими звездное плечо (так, при k= 2 добавляются четыре точки с координатами (±а,0),(0,±а), которые изображены на рис.3.1), и одна точка в центре плана.

Значения входных переменных, соответствующие композиционному плану второго порядка при k = 3, приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1

Номер опыта Х1 Х2 Х3 Примечания
  -1 -1 -1 Полный факторный план Nф
  +1 -1 -1
  -1 +1 -1
  +1 +1 -1
  -1 -1 +1
  +1 -1 +1
  -1 +1 +1
  +1 +1 +1
  +a     Звездные точки Na
  -a    
    +a  
    -a  
      +a
      -a
        Центр плана N0

 

Величина a выбирается так, чтобы обеспечить ортогональность получаемого плана. В табл.3.2 приведены параметры ортогональных центральных композиционных планов для разного числа входных переменных.

 

 

Таблица 3.2

Размерность Ядро плана N a b C0 C1 C2 C3
  22     0,6667 0,1111 0,1667 0,5 0,25
  23   1,215 0,73 0,0667 0,0913 0,229 0,1250
  24   1,414 0,8 0,04 0,05 0,125 0,0625
  25-1   1,547 0,77 0,0370 0,0481 0,087 0,0625
  26-1   1,722 0,843 0,222 0,0264 0,056 0,0312
  27-1   1,885 0,9 0,0127 0,0141 0,038 0,0156
  28-1   2,001 0,8898 0,0123 0,0139 0,031 0,0156

 

Формулы для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии имеют вид

, 1 £ i £ k;

 

, 1 £ i £ k;

(3.2)

, 1 £ i, l £ k, i<1;

 

.

Оценки дисперсий коэффициентов модели определяются по формулам

где D вос — оценка дисперсий ошибок наблюдений (дисперсия воспроизводимости), для определения которой необходимо произвести q дополнительных наблюдений в выбранной точке (например, в центре плана):

, (3.3)

где — среднее значение выходной переменной, вычисленное по результатам этих наблюдений.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t -критерию по изложенной в работе 1 методике с v = q - 1 степенями свободы:

Если какое-либо неравенство выполняется, то соответствующий коэффициент значим.

Найденные по формулам (3.1) параметры модели могут быть использованы только при подстановке в модель нормированных значений переменных (1.5). Для получения регрессионной модели вида (3.1), использующей значения входных переменных в натуральных единицах, необходимо произвести пересчет коэффициентов модели по формулам

где b — оценки коэффициентов модели в нормированной системе координат; а — оценки коэффициентов модели в абсолютной системе координат. Проверка адекватности модели проводится с помощью F-критерия Фишера:

F=Dад/Dвос

где Dад — дисперсия адекватности, определяющая рассогласование результатов эксперимента у i со значениями выходной переменной уi м, вычисленными по модели:

, (3.4)

 

где d— число коэффициентов модели.

Если F < FKp при заданном уровне значимости для числа степеней свободы числителя.vaд = N-d и vвос =q-l знаменателя, то гипотеза об адекватном описании объекта принимается.

Если модель неадекватна, то следует изменить интервалы варьирования переменных. Если и это не приводит к желаемым результатам, необходимо переходить к построению модели более высокого порядка.

Если полученная модель адекватна, то она используется для анализа поверхности отклика и поиска положения точки оптимума. Для определения координат экстремальной точки необходимо либо приравнять нулю первые частные производные полученного уравнения регрессии и решить данную систему линейных уравнений, либо воспользоваться имеющимися стандартными численными методами оптимизации функции многих пере­менных, используя уравнение регрессии в качестве целевой функции. Если найденная экстремальная точка находится в допустимой области, то в ней необходимо провести дополнительный эксперимент и сопоставить полученные результаты с величиной, вычисленной в этой же точке по модели, а также со значением функции отклика в центре плана.

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

— задание;

— план эксперимента;

— полученную нелинейную модель;

— результаты проверки на значимость;

— результаты проверки на адекватность;

— результаты поиска экстремума с использованием модели;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

 

1. В каких случаях используется план второго порядка?

2. Как достигается ортогональность матрицы планирования при

ОЦКП?

3. Как определяются координаты звездных точек?

4. Как определяется общее количество опытов в ОЦКП?

5. Каким образом осуществляется преобразование переменных в

ОЦКП?

6. Каким образом проверяется значимость коэффициентов модели?

7. Как проверить адекватность модели?


 

Работа 4. РОТАТАБЕЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

 

Цель работы — ознакомление с методом ротатабельного композиционного планирования и изучение особенностей его применения в экстремальных экспериментах.




Дата добавления: 2015-01-07; просмотров: 26 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав