Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Общие сведения. При построении по экспериментальным данным математических моделей исследуемых объектов, описываемых уравнением вида

При построении по экспериментальным данным математических моделей исследуемых объектов, описываемых уравнением вида

y=b^Tf(x) (5.1)

где f(х) — заданные функции: f(x)={f₀(x), f₁(x),…,f_d(x)}^T; d — число параметров уравнения (5. 1); х = { х ₁, х ₂,…, х_k } — вектор независимых управляемых переменных (факторов), обычно требуется составить программу проведения эксперимента, удовлетворяющую условиям выполнения некоторого критерия оптимальности. В планировании экспе­римента широко используется критерий D-оптимальности, позволяющий охватить широкий круг экспериментальных задач: нелинейных, последовательного планирования, с произвольной областью варьирования независимых переменных, с неодинаковой точностью опытов при различных условиях проведения эксперимента.

Пусть задан точный план эксперимента

x={x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…,x^(N)}^T

где x⁽ⁱ⁾- i-я точка факторного пространства: x⁽ⁱ⁾=(x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…, x_k⁽ⁱ⁾); N — число точек плана.

Матрица значений функций независимых переменных в точках плана имеет вид

.

Так как часть точек плана может повториться, то его можно представить в виде

,

где x^(j) — точки, в которых сосредоточен план X, j = 1,r(спектр плана); h_j — число повторных наблюдений в j -й точке плана, причем

Обозначим l_j=h_j/N — частота j -й точки плана. Тогда соответствующий ему план, заданный в виде

называется нормированным планом. Если частоты l_j могут принимать любые значения в интервале [0,1] при условии ål_j== 1, то план L называется непрерывным.

Например, если для двух переменных х₁, х₂ точный план

-1 -1

+1 -1

-1 +1

Х= -1 +1

0 0

0 0

то с учетом кратности последних точек соответствующий ему непрерывный план будет

x⁽¹⁾, x⁽²⁾, x⁽³⁾, x⁽⁴⁾, x⁽⁵⁾

L=

1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 2/6,

Критерий D-оптимальности требует такого выбора плана X *, содержащего N опытов, при котором определитель дисперсионной матрицы С (X) минимален т.е.

½ С (X*)½=min½ С (X)½=min½ (F^TF)^-1 ½ xÎW_x

или, соответственно, максимален определитель информационной матри­цы М(Х):

½M (X*)½=max½M (X)½=max½ F^TF ½ xÎW_x

где X* — оптимальный план в смысле критерия D-оптимальности; W _х — область изменения параметров плана X.

План L * будет непрерывным D-оптимальным планом, если он минимизирует на множестве всех непрерывных планов в области W_xвеличину определителя дисперсионной матрицы или, соответственно, максимизирует определитель информационной матрицы М(Х).

Из теории планирования эксперимента известно, что в случае равноточных наблюдений процедура построения непрерывного D-оптимального плана сводится к выполнению рекуррентных операций, определяемых уравнениями

M(t+1)=M(t)+f(x*)f^T(x*) (5.2)

f^T(x*)C(t)f(x*)=max f^T(x*)C(t)f(x*) (5.3)

где C(t)M(t) — дисперсионная и информационная матрицы соот­ветственно на t -м шаге.

Для упрощения вычислений целесообразно разделить процедуры получения координат точек (спектра) D-оптимального плана и определения частот повторения. Выявление точек, в которых концентрируется D-оптимальный план, можно осуществить за сравнительно небольшое количество циклов по рекуррентным соотношениям (5.2), (5,3), тогда как точное определение частот в каждой точке требует большего числа циклов. Такое разбиение процедуры получения D-оптимальных планов обусловлено тем, что при определении частоты повторения наблюдений нет необходимости искать глобальный максимума f(x)^t C(t)f(x} по всему пространству, так как заранее известно, что он будет иметь место в одной из точек, найденных на первом этапе.

Для получения спектра непрерывного D-оптимального плана следует провести следующие операции:

а) выбрать произвольный начальный невырожденный план для числа наблюдений Nо (r <=Nо:

x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(r)

L⁽⁰⁾=

l₁, l₂, …, l_r

и определить информационную матрицу

M(0)=ål_if(x⁽ⁱ⁾)f^T(xⁱ)

б) по уравнению (5.3) определить точку х *, в которой квадратичная форма f^т(x)С(0)f(х) имеет глобальный максимум на множестве W х. Поиск глобального максимума может быть основан на многократном применении локального поиска из разных точек пространства W х и последующем выборе максимального из всех значений локальных максимумов. Поиск локальных максимумов следует начинать с точек начального плана. Для обнаружения возможных максимумов, не предусмотренных начальным планом, локальный поиск следует осуществлять также из ряда случайных точек, координаты которых можно получить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных на области W х;

в) после определения точки глобального максимума х * скорректировать матрицу L⁽⁰⁾ по уравнению (5.2), т.е. получить план

x⁽¹⁾ , x⁽²⁾, …, x^(r), x*

L⁽¹⁾=

(l-a₀)l₁, (l-a₀)l₂, …, (l-a₀)l_r, a₀

Операции «б», «в» повторить с заменой плана L⁽⁰⁾ на L⁽¹⁾ и т.д. до выполнения останова в соответствии с выбранным правилом.

Практика показывает, что обычно можно производить останов по процедуре (5.2), (5.3), когда число циклов будет в два-три раза больше максимального числа точек, в которых концентрируется D-оптимальный план. В общем случае количество вычислений зависит от выбранных начальных приближений и будет тем меньше, чем ближе М(О) к информационной матрице D-оптимального плана.

Для определения частоты повторения наблюдений в каждой точке необходимо:

а) выбрать начальный план L⁽⁰⁾, включающий по одному разу все точки, которые были определены на первом этапе:

x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(r)

L⁽⁰⁾=

1/No, 1/No, 1/No

где No —число наблюдений (в начальном плане N ₀ = r ); r — число точек спектра D-оптимального плана;

б) на основании соотношения (5.3) определить точку x⁽ⁱ⁾* спектра плана, в которой квадратичная форма f^т(х^(i)*)C(0)f(x^(i)*) (i=1, r) больше, чем в остальных точках спектра. В том случае, когда получаются одинаковые наибольшие значения в нескольких точках спектра оптимального плана, выбирается любая из них;

в) скорректировать информационную матрицу М по уравнению (5.2), в результате чего получается план

где а₀ = 1 / N и k — номер точки спектра, в которой добавляется еще одно наблюдение к плану L ⁽⁰⁾;

— операции «б»и«в» повторить с заменой плана L⁽⁰⁾ на L⁽¹⁾ и числа наблюдений N ₀ на N ₁.

Другой подход к определению частот связан с подсчетом числа попаданий глобального максимума квадратичной формы f^т(х^(i)*)C(0)f(x^(i)*) (i=1, r) в каждую точку спектра х⁽ⁱ⁾ D- оптимального плана:

l_i = (m_i+l)/(N₀ +S),

где т i — число попаданий в точку х^(i)* спектра плана; S — число циклов на этапе определения частот.

Из процедуры построения непрерывных D-оптимальных планов видно, что вычислительные затраты на каждом шаге планирования складываются главным образом из времени, необходимого для поиска гло­бального максимума квадратичной формы, и времени обращения скорректированной информационной матрицы.

Дисперсионная матрица С (t + 1) на (t + 1)-м шаге рекуррентной процедуры может быть получена на основании известной после t-го этапа информационной матрицы по формуле

C(t+1)=[M(t)+f(x)f^T(x)]^-1

где х — точка, добавляемая в план L^(t).

Для упрощения вычислений можно воспользоваться известной формулой обращения матриц

(5.4)

где А — квадратичная матрица размерности п х п; U — вектор-столбец размерности п. С учетом того что добавление точки в исходный план происходит c некоторым весом а, выражение (5.4) приводит к следующей формуле для определения элементов обратной матрицы С (t + 1) по известной матрице С(t):

Обозначим через Q (х, L) функцию Q(x, L)=f^T(x)C(L^(t))f(x). Из теории планирования эксперимента известно, что непрерывный план L тогда и только тогда оптимален, когда

max Q(x, L) = k+1,

x Î W_x

где (k+ 1) — число оцениваемых параметров.

Это положение можно использовать для оценки относительного отличия получаемого плана L от D-оптимального с помощью формулы

С другой стороны, этой формулой можно воспользоваться для останова процедуры построения D-оптимального плана при достижении некоторого наперед заданного, достаточно малого положительного значения d.

Полученный непрерывный план может быть использован для постро­ения точного D-оптимального плана при заданном числе опытов N. Решение данной задачи зависит от соотношений числа опытов в точном плане N и числа точек непрерывного плана r, а также от соотношений максимальной l_mах и минимальной l_min частот точек непрерывного плана. При этом возможны следующие ситуации:

а) N = т r, l _mах = l _min и т — целое число. Так как l _mах = l _min, то

l₁=l₂=…=l_r=1/r

Точный план, определяемый при этих условиях с помощью непрерыв­ного D-оптимального плана, является D-оптимальным планом. Количество наблюдений в точке х⁽ⁱ⁾ этого плана

h_i=nl_i=N1/r=mr1/r=m

б) r <<N. В этом случае можно ожидать, что с помощью непрерыв­ного плана получится точный план, достаточно близкий к D-оптимальному. Число наблюдений hi в точке х⁽ⁱ⁾ определяется округлением произведения N1i до ближайшего целого числа;

в) k + 1 <= N <r. В этом случае трудно получить однозначное решение.

Варианты задания приведены в табл.5.1.

Таблица 5.1

Построить D-оптимальные планы для расположения точек, представленного на рис.5.1.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

—задание;

— блок-схему процедуры вычисления непрерывного D-оптимального

плана; ооауг

— программу для вычисления D-оптимального плана на JBM;

— полученный непрерывный и точный D-оптимальные планы;

— выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Какой план называется D-оптимальным?

2 Чем отличается непрерывный план от точного?

3. Чем вызвано разбиение процедуры построения D-оптимального

плана на два этапа?

4. Как определяется глобальный максимум квадратичной формы f^T(x)Cf(x)?

5. Исходя из каких условий выполняется останов вычислительных процедур каждого этапа построения D-оптимального плана?

6. Каким образом проверяется близость полученного плана к D-оптимальному?

7. Как получить на основе непрерывного точный D-оптимальный план?

Приложение 1

ЗНАЧЕНИЯ F-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ УРОВНЕ ЗНАЧИМОСТИ а = 0,05