Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Квадратурная формула Гаусса

Читайте также:
  1. А10. Закон самоіндукції, формула.
  2. А2. Формула закону електромагнітної індукції.
  3. Абсолютная погрешность (определение и формула)
  4. ВОПРОС N 70. Формула Пуассона.
  5. ВОПРОС N 83. Интегральная формула Муавра-Лапласа.
  6. Вопрос17. Формула для приращения функции. Дифференциал функции.
  7. Гонки Формула 1 Гран-при в Японии
  8. Дисперсия случайной величины. Св-ва дисперсии, формула для вычисление дисперсии, среднее квадратическое отклонение.
  9. Докажите теорему Остроградского-Гаусса в вакууме в интегральной форме.
  10. ЕГО ФОРМУЛА, ГРАФИК, ОСОБЕННОСТИ.

Все рассмотренные выше формулы основаны на разбиении интервала интегрирования на равные части. Однако, можно поставить задачу по-другому, а именно: зафиксируем количество частей и потребуем уменьшения погрешности за счёт рационального выбора абсцисс точек разбиения.

В результате получим формулы, которые будут точными для многочленов наивысшей возможной степени.

Идея:

· Интервал интегрирования предварительно изменяется на отрезок длины 2 ([-1,1]), т.е.

· Вводится переменная

Рассмотрим метод Гаусса для 2 ординат, заменим

Так, чтобы выполнялось условие

 

1 3

 

 

 

 


Проведём линию так, чтобы суммы прямолинейных площадей равнялись площади 2

Поскольку в формуле 4 параметра, то она даёт точный результат

Т.к. должны удовлетворять уравнению 1, то

Погрешность этой формулы = 0 при интегрировании многочленов до 3 порядка включительно. Можно получить таким же образом формулу Гаусса больших порядков.

В общем случае при n ординатах формула имеет вид

И она точна для нахождения интеграла от многочлена в степени

Таким образом, она имеет высокую точность при сравнительно малом числе ординат.

 

Лекция 25.12.14

Численные методы решения ОДУ

 

В ОДУ неизвестная функции зависит только от 1 переменной.

 

 

Решить ДУ – найти значения функции, которые бы удовлетворяли этому уравнению.

Простейшее ДУ:

- вектор параметр

 

Для получения единственного решения необходимо наложить n дополнительных условий на функцию

3 типа задач:

- Коши

- краевые задачи

- задачи на собственные значения

 

 

Задача Коши – известны значения функции в начальной точке.

 

Из всех перечисленных видов ДУ задача Коши является наиболее простой, к ней могут быть сведены другие задачи, например, краевые.

Классы методов:

- аналитические (точные и приближённые);

- численные – алгоритмы вычисления приближённых значений на некоторой выбранной сетке значительных аргументов. Решения получают в виде таблицы.

Численные методы можно применять только к рекуляризованным (хорошо обусловленным) задачам. Применимы к широкому классу…

 

x U(x)

 

Метод приближения Декарта. – 1890г. (приближённый, аналитический метод)

 

Рассматриваем уравнение Коши 1-го порядка:

 

правая часть имеет непрерывную частную производную в некоторой области

Проинтегрируем это уравнение с учётом начальных условий. В результате получим определённый интеграл:

 

Первое приближение может быть представлено в следующем виде:

 

Заменяем и находим следующие приближения:

 

Получили последовательность приближений.

 

Теорема: если в некоторой окрестности точки правая часть ДУ непрерывна и имеет ограниченную частную производную по , то в некотором интервале, содержащем точку последовательность сходится к функции, являющейся решением данного ДУ и удовлетворяющей начальным условиям.

Недостаток метода – интегрирование на каждой итерации, что сужает область его практического применения.

 

Оценка погрешности.

 

– постоянная Либширца

Метод ломаных Эйлера (низкая точность)

 

Пусть дано ДУ 1-го порядка с начальными условиями:

Выберем на отрезке некоторую сетку

 

Для оценки погрешности применяют двойной расчёт:

 

Данный метод является методом 1-го порядка точности (достаточно не точен).




Дата добавления: 2015-01-07; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав