Читайте также:
|
|
Все рассмотренные выше формулы основаны на разбиении интервала интегрирования на равные части. Однако, можно поставить задачу по-другому, а именно: зафиксируем количество частей и потребуем уменьшения погрешности за счёт рационального выбора абсцисс точек разбиения.
В результате получим формулы, которые будут точными для многочленов наивысшей возможной степени.
Идея:
· Интервал интегрирования предварительно изменяется на отрезок длины 2 ([-1,1]), т.е.
· Вводится переменная
Рассмотрим метод Гаусса для 2 ординат, заменим
Так, чтобы выполнялось условие
1 3
Проведём линию так, чтобы суммы прямолинейных площадей равнялись площади 2
Поскольку в формуле 4 параметра, то она даёт точный результат
Т.к. должны удовлетворять уравнению 1, то
Погрешность этой формулы = 0 при интегрировании многочленов до 3 порядка включительно. Можно получить таким же образом формулу Гаусса больших порядков.
В общем случае при n ординатах формула имеет вид
И она точна для нахождения интеграла от многочлена в степени
Таким образом, она имеет высокую точность при сравнительно малом числе ординат.
Лекция 25.12.14
Численные методы решения ОДУ
В ОДУ неизвестная функции зависит только от 1 переменной.
Решить ДУ – найти значения функции, которые бы удовлетворяли этому уравнению.
Простейшее ДУ:
- вектор параметр
Для получения единственного решения необходимо наложить n дополнительных условий на функцию
3 типа задач:
- Коши
- краевые задачи
- задачи на собственные значения
Задача Коши – известны значения функции в начальной точке.
Из всех перечисленных видов ДУ задача Коши является наиболее простой, к ней могут быть сведены другие задачи, например, краевые.
Классы методов:
- аналитические (точные и приближённые);
- численные – алгоритмы вычисления приближённых значений на некоторой выбранной сетке значительных аргументов. Решения получают в виде таблицы.
Численные методы можно применять только к рекуляризованным (хорошо обусловленным) задачам. Применимы к широкому классу…
x | U(x) |
… | |
Метод приближения Декарта. – 1890г. (приближённый, аналитический метод)
Рассматриваем уравнение Коши 1-го порядка:
– правая часть имеет непрерывную частную производную в некоторой области
Проинтегрируем это уравнение с учётом начальных условий. В результате получим определённый интеграл:
Первое приближение может быть представлено в следующем виде:
Заменяем и находим следующие приближения:
Получили последовательность приближений.
Теорема: если в некоторой окрестности точки правая часть ДУ непрерывна и имеет ограниченную частную производную по , то в некотором интервале, содержащем точку последовательность сходится к функции, являющейся решением данного ДУ и удовлетворяющей начальным условиям.
Недостаток метода – интегрирование на каждой итерации, что сужает область его практического применения.
Оценка погрешности.
– постоянная Либширца
Метод ломаных Эйлера (низкая точность)
Пусть дано ДУ 1-го порядка с начальными условиями:
Выберем на отрезке некоторую сетку
Для оценки погрешности применяют двойной расчёт:
Данный метод является методом 1-го порядка точности (достаточно не точен).
Дата добавления: 2015-01-07; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |