Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Система уравнений (9) и называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты-выпуск»).

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

- Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной про­дукции каждой отрасли (Y_i):

Y = (E -A)*X (10)

- Задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

X = (E – A)^-1*Y (11)

- Для ряда отраслей, задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (10), а системой линейных уравнений (8).

В формулах (10) и (11) E обозначает единичную матрицу n –того порядка, а (E – A)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (E – A). Если определитель матрицы (E – A) не равен нулю, т.е. матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через B = (E – A) ^-1, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде:

X = B*Y (12)

Элементы матрицы B = (b_ij) называются коэффициентами полных материальных затрат. Они включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Коэффициенты полных материальных затрат показывают, какое количество продукции i-той отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-той отрасли. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукции не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности матрицы.

Дадим определение. Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1. существует обратная матрица (E – A) ^-1 все элементы которой неотрицательны.

2. Матричный ряд E + А + A²+ A³ + ….= A^k сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E – A) ^-1.

3. Пример использования модели Леонтьева «затраты-выпуск»

Пример 1. Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y_i для трехотраслевой экономической системы:

0,3 0,1 0,4 200

А = 0,2 0,5 0,0 Y = 100

0,3 0,1 0,2 300

Требуется определить:

а) Коэффициенты полных затрат;

б) Вектор валового выпуска;

в) Межотраслевые поставки продукции;

г) Проверить продуктивность матрицы А;

д) Заполнить схему межотраслевого баланса.