Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры евклидовых пространств

Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих примерам линейных пространств.

1. В нулевом линейном пространстве скалярное произведение можно определить единственным способом, положив . Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.

2. В пространствах векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение: . Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространства являются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что . Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).

3. В пространстве скалярное произведение столбцов и можно задать формулой:

(2)

где — квадратная симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка. Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома 1 (симметричность) выполняется в силу симметричности матрицы , поскольку число при транспонировании не изменяется, т.е. . Свойство линейности по первому сомножителю для (2) выполняется:

Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма положительно определенная. Таким образом, пространство со скалярным произведением (2) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы взять единичную матрицу, формула (2) примет вид:

(3)

Это скалярное произведение считается стандартным в пространстве . Неравенство (1) Коши-Буняковского в «-мерном арифметическом пространстве со скалярным произведением (3) трансформируется в неравенство Коши:

Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в

1) — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;

2) — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.

4. Пространство решений однородной системы линейных уравнений со скалярным произведением (3) является евклидовым пространством.

5. В пространстве действительных функций, определенных и непрерывных на данном промежутке , скалярное произведение можно задать формулой:

(4)

В самом деле, аксиомы 1, 2, 3 для (4) выполняются в силу свойств определенного интеграла. Проверим выполнение аксиомы 4. Для ненулевой функции , так как, если в какой-нибудь точке функция , то в силу непрерывности она отлична от нуля в некоторой окрестности точки , целиком лежащей в интервале . Поэтому интеграл от в этой окрестности больше нуля.

Таким образом, пространство со скалярным произведением (4) является евклидовым. Скалярное произведение (4) считается стандартным в пространстве . Для разрывных функций формула (4) не определяет скалярного произведения, так как нарушается аксиома 4. Неравенство (1) Коши-Буняковского в пространстве со скалярным произведением (4) трансформируется в неравенство Шварца:

6. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (4), так как многочлены являются непрерывными функциями.

В пространстве многочленов степени не выше, чем , зададим скалярное произведение многочленов и формулой:

(5)

Выражение в правой части (5) симметрично для коэффициентов двух многочленов, поэтому аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют из линейности выражения по коэффициентам каждого многочлена. Проверим аксиому 4. Запишем скалярный квадрат . Заметим, что только при , т.е. в случае нулевого многочлена . Следовательно, формула (5) задает скалярное произведение в пространстве .

В пространстве определим произведение формулой:

(6)

В силу симметричности и линейности правой части (6) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем

Это возможно только при . Из этих трех равенств не следует, однако, что многочлен нулевой. Например, ненулевой многочлен удовлетворяет трем равенствам. Следовательно, в пространстве формула (6) не задает скалярного произведения. Напротив, в пространстве формула (6) определяет скалярное произведение. Так как из равенств следует, что многочлен степени не выше второй тождественно равен нулю.