Уравнения Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна связывают между собой свойства материи, присутствующей в искривлённом пространстве-времени, с его кривизной. Они являются простейшими (наиболее линейными) среди всех мыслимых уравнений такого рода^[15]. Выглядят они следующим образом^[16]:

где R _μν — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени R _ρμσν посредством свёртки его по паре индексов

R — скалярная кривизна, как свёрнутый с дважды контравариантным метрическим тензором g ^μν тензор Риччи

Λ — космологическая постоянная, а T _μν представляет собой тензор энергии-импульса материи, (π — число пи, c — скорость света в вакууме, отражающая максимальную скорость распространения гравитации, G — гравитационная постоянная Ньютона).

Здесь греческие индексы пробегают значения от 0 до 3. Дважды контравариантный метрический тензор задаётся соотношением

Тензор кривизны пространства-времени равен

где используются символы Кристоффеля, определяемые через производные от компонент дважды ковариантного метрического тензора g _μν

Символ Кристоффеля с одним верхним индексом по определению равен

Решая уравнения Эйнштейна, можно найти 10 независимых компонент симметричного метрического тензора. Этот метрический тензор (метрика) описывает свойства пространства-времени в данной точке и используется для описания результатов физических экспериментов. Он позволяет задать квадрат интервала в искривлённом пространстве

который определяет «расстояние» в физическом (метрическом) пространстве. В наиболее простом случае пустого пространства, когда тензор энергии-импульса равен нулю из-за отсутствия материи, без учёта лямбда члена одно из решений уравнений Эйнштейна описывается метрикой Минковского специальной теории относительности:

Некоторое время дискутировался вопрос о наличии в уравнениях Эйнштейна третьего члена в левой части, то есть о равенстве космологической постоянной нулю. Космологическая постоянная Λ была введена Эйнштейном в 1917 году в работе «Вопросы космологии и общая теория относительности» для того, чтобы описать в ОТО статическую Вселенную, однако затем открытие расширения Вселенной разрушило философские и экспериментальные основания её учёта в теории гравитации (см. История космологической постоянной). Данные современной количественной космологии, тем не менее, говорят в пользу модели Вселенной, расширяющейся с ускорением, то есть с положительной космологической постоянной (см. Модель ΛCDM). С другой стороны, величина этой постоянной настолько мала, что позволяет не учитывать её в любых физических расчётах, кроме связанных с астрофизикой в масштабах скоплений галактик и выше.

Уравнения Эйнштейна наиболее просты в том смысле, что кривизна и энергия-импульс в них входит лишь линейно, кроме того, в левой части стоят все тензорные величины валентности 2, которые могут характеризовать пространство-время. Их можно вывести из принципа наименьшего действия для действия Эйнштейна-Гильберта, которое также выглядит просто

где обозначения расшифрованы выше, представляет собой лагранжеву плотность материальных полей^[17], а даёт инвариантный элемент 4-объёма пространства-времени. Здесь — определитель, составленный из элементов матрицы дважды ковариантного метрического тензора. Знак минус введён для того, чтобы показать, что определитель всегда отрицателен (для метрики Минковского он равен −1).

С математической точки зрения, уравнения Эйнштейна являются системой нелинейных дифференциальных уравнений относительно метрического тензора пространства-времени, поэтому сумма их решений не является новым решением. Символы Кристоффеля метрического тензора определяют геодезические — линии, по которым объекты (пробные тела) двигаются по инерции. Приближённо линейность существует лишь для слабых гравитационных полей, когда отклонения метрических коэффициентов от их значений для плоского пространства-времени малы, и так же мала кривизна^[15]. Важнейшие точные решения уравнений Эйнштейна включают: решение Шварцшильда^[18] (для пространства-времени, окружающего сферически симметричный незаряженный и невращающийся массивный объект), решение Рейснера — Нордстрёма^[19][20] (для заряженного сферически симметричного массивного объекта), решение Керра^[21] (для вращающегося массивного объекта), решение Керра — Ньюмана^[22] (для заряженного вращающегося массивного объекта), а также космологическое решение Фридмана^[23] (для Вселенной в целом) и точные гравитационно-волновые решения ^[24].

Дополнительным обстоятельством, затрудняющим решение этих уравнений, является то, что источник (тензор энергии-импульса) подчиняется собственному набору уравнений — уравнениям движения той среды, что заполняет рассматриваемую область. Интерес представляет то обстоятельство, что уравнения движения, если их меньше четырёх, вытекают из уравнений Эйнштейна в силу локального закона сохранения энергии-импульса (см. далее)^[25]. Это свойство известно как самосогласованность уравнений Эйнштейна. Если же уравнений движения больше четырёх, то решать приходится систему из уравнений Эйнштейна и уравнений среды, что ещё более сложно. Именно поэтому такое значение придаётся известным точным решениям этих уравнений.

Уравнения Эйнштейна без космологической постоянной были практически одновременно выведены в ноябре 1915 года немецкими математиком Давидом Гильбертом (20 ноября, вывод из принципа наименьшего действия, см. указанную выше работу) и физиком Альбертом Эйнштейном (25 ноября, вывод из принципа общей ковариантности уравнений гравитационного поля, см. работу^[1]). По вопросам приоритета существуют разные мнения, освещённые в статье «Вопросы приоритета в теории относительности» (англ.).