Читайте также:
|
|
В процессе построения математической модели можно выделить ряд взаимосвязанных этапов:
1 этап: Постановка задачи. Формулируется цель запланированного исследования, ставятся задачи, проводится качественное описание объекта.
2 этап: Определение задачи и построение описательной (концептуальной) модели. Исследователь определяет, к какому виду относится объект, описывает параметры состояния объекта, переменные, характеристики, факторы внешней среды.
3 этап: Составление математической модели. Изучаемый объект описывается с помощью математической модели, определяются методы ее исследования.
4 этап: Работа с математической моделью. Решение задачи на базе разработанной модели, определение оптимального решения математическими методами.
5 этап: Анализ полученного решения. Установление соответствия построенной математической модели описываемому экономическому процессу.
6 этап: Формулировка выводов. Представление результатов решения в форме удобной для изучения, анализ полученных результатов, формулировка выводов. Результат, полученный при исследовании экономического процесса, должен быть экономически интерпретирован и всесторонне проанализирован.
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Общий случай математической постановки задачи оптимизации
На практике часто встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец, народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений выбирается наилучшее (оптимальное). Математически это сводится обычно к нахождению наибольшего или наименьшего значения некоторой функции.
Для решения самых разнообразных задач оптимизации необходимо иметь соответствующую математическую модель. В большинстве ситуаций самые различные по содержанию задачи оказываются частными случаями одной задачи оптимизации.
Задача оптимизации в общем случае, включающая три компонента (целевую функцию F, ограничения gi и граничные условия), имеет следующую математическую постановку:
Найти максимум (или минимум) целевой функции при условии, что переменная х (обычно говорят - точка х) пробегает некоторое данное множество Х.
Символическая запись:
F = f(x1, x2, …, xn) ®max (min) (это функция многих переменных)
(Так задается допустимое множество Х) (1)
где aj и bj - нижнее и верхнее предельно допустимые значения xj.
Задачу (1) можно представить в еще более общей компактной форме записи:
F = f(xj) ®max (min)
(2)
Определенная таким образом задача называется задачей оптимизации.
Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных, и в общем случае они могут быть двусторонними типа aj£xj£bj.
Вместе с тем на практике достаточно нередко возникают следующие частные случаи:
1) в технических, экономических и других видах расчетов искомые величины обычно являются положительными или равными нулю. В этом случае принимается aj=0, bj=¥ и накладывается только требование неотрицательности переменных xj ³ 0;
2) в ряде случаев значение величины xj может задаваться.
Ограничения обычно выражают определенные зависимости между переменными величинами, которые по своей сути могут быть теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические зависимости обычно справедливы при любых условиях и для их получения не требуется никаких дополнительных измерений. Однако на практике достаточно часто между параметрами модели нет известной функциональной зависимости. Поэтому для получения аналитической зависимости, которая и будет являться ограничением, требуется осуществить сбор и обработку статистических данных.
Так, например, если мы желаем оптимизировать использование общественного транспорта города в течение суток, то нам необходимо знать, как пассажиропоток распределен во времени. Естественно, что такой готовой зависимости нет, и для ее получения потребуется осуществить сбор и обработку статистических данных, чтобы получить определенную аналитическую зависимость, которая и будет тем ограничением, которое следует включить в задачу оптимизации.
Значения переменных, удовлетворяющие заданным граничным условиям и ограничениям, называют допустимымрешением (планом) задачи.
Иногда случается, что в задачу включаются противоречивые по смыслу требования, выполнить которые невозможно. Такая ситуация приводит к несовместным задачам, которые в планировании называют несбалансированными планами (когда нет и не может быть допустимых решений). Обычно же, если задача составлена правильно, то в общем случае она имеет набор допустимых решений.
Чтобы из данного набора допустимых решений лицо, принимающее решение (ЛПР), могло выбрать одно наилучшее (оптимальное), необходимо договориться, как и по какому признаку его найти. ЛПР должно абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность принимаемого решения, т. е. по какому критерию (от греч. kriterion — мерило, оценка, средство для суждения) принимаемое решение должно быть оптимально.
Критерий часто называют целевой функцией, функцией цели. Критерий в общем случае может оценивать качественные свойства объекта, причем как желательные для субъекта (обычно с максимальным уровнем или значением, например, прибыль, производительность, надежность), так и нежелательные для него (или минимальные — непроизводительные затраты, расход материала, простои оборудования и др.). Если при принятии решения требуется максимизировать какое-то свойство (к примеру, прибыль, производительность или надежность), то в результате решения задачи критерий будет иметь наибольшее значение из всех допустимых решений. Если же требуется минимизировать какое-либо свойство (стоимость, расход материала, время простоев оборудования), то в результате решения критерий будет иметь наименьшее значение из всех допустимых.
Дата добавления: 2015-01-07; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |