Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пример1.

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и 2 таблицы).

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний необходимо выравнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия: Пирсона (c2), Романовского и Колмогорова (l).

 

Крепость нити, г Число проб Середина интервала j(t) 154*j(t)»f
120 – 130 -36,4 -2,80 0,008
130 – 140 -26,4 -2,03 0,051
140 – 150 -16,4 -1,26 0,180
150 – 160 -6,4 -0,49 0,354
160 – 170 3,6 0,28 0,384
170 – 180 13,6 1,05 0,230
180 – 190 23,6 1,82 0,076
190 – 200 33,6 2,58 0,014
Итого - - - -

 

Для нахождения теоретических частот используем формулу:

, или

где - нормированные отклонения от средней, т.е. и s - основные параметры кривой нормального распределения.

С них и начнем свои расчеты. Опуская вычисления, запишем результаты:

1) = 161,4;

2) s = 13.

Дальнейшие расчеты таковы:

3) находим отклонения отдельных вариантов от средней (графа 4);

4) делим каждое отклонение на s, т.е. находим нормированные отклонения (графа 5);

5) зная t, находим по таблицам j(t) (графа 6);

6) рассчитаем постоянный множитель const = Nh/s. В нашем примере const = 200*10/13 = 154;

7) умножая последовательно 154 на j(t)и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты (графа 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты (f ) , близки к эмпирическим (f), хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

1. Критерий Пирсона:

Расчет этого критерия рассмотрен в таблице:

f f f – f (f – f )2 (f – f )2/f
-1 0,04
0,16
-3 0,15
-1 0,03
0,33
- - c2 = 0,71

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп (классов) вариантов, следовательно, и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних (при выравнивании по кривой нормального распределения) k = 8 – 3 = 5. Примем наиболее часто используемый уровень значимости a = 0,05 и обратимся к таблицам («Значения c2 – критерия Пирсона» при различных значениях уровня значимости (0,05; 0,01 и т.д.)).

По таблицам значений c2- критерия Пирсона для степеней свободы k = 5 и уровня значимости a = 0,05 определяем, что c2табл.= 11,07. Так как полученное в задаче фактическое значение c2факт.= 0,71, т.е. меньше табличного, то, следовательно, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному принимается.

2. Применим критерий Романовского:

Поскольку 1,4< 3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

3. Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия Колмогорова ( ). Для этого запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними:

f f Накопленные частоты ês – sê
эмпирическое (s) теоретическое (s)
2

Максимальный разрыв D = 2, поэтому =

По таблицам значений функции P(l) находим для l = 0,2, что Р = 1,000. Следовательно, с вероятностью 100% можно полагать, что расхождения между f и f носят случайный характер, поэтому гипотезу о характере распределения следует принять.

Пример 2.

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Число неисправностей (х)
Число станков (f)

Требуется:

1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона;

1) оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Решение:

Так как вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются, то выдвигаем гипотезу о близости данного распределения к распределению Пуассона и производим выравнивание ряда распределения в соответствии с этой гипотезой. Теоретические частоты при выравнивании эмпирических данных определяем по формуле: f’=N*Px,

где f - теоретические частоты;

– общее число единиц ряда, в нашем примере N=50

Рх – вероятность наступления отдельных значений х, которая определяется по формуле: ,

где – средняя арифметическая ряда.

Следовательно, на основе данных исходной таблицы получим:

а) Среднее число неисправностей:

б) Находим по таблицам значение =0,2466≈ 0,247.

в) Подставляя в формулу значения = 0,1,2,3,4,5 получаем вероятности числа неисправностей от 0 до 5. Значения Px заносим в таблицу ( смотри ниже).

г) Затем находим теоретические частоты ряда распределения :

Для х=0 получаем f’=50* 0,247=14,56≈15,

Для х=1 получаем f’=50* 0,345=21,84≈22 и т.д. (расчет представлен в нижестоящей таблице)

Значения и (округленные до целого числа) показаны в приводимой ниже таблице:

(теоретические частоты)= 50
0,247 12
0,345 17
0,242 12
0,113 6
0,040 2
0,011 1
Итого 50

После выравнивания ряда, т.е. нахождения теоретических частот, необходимо проверить, случайны или существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о близости исходного распределения к распределению Пуассона.

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова.

1) Критерий Пирсона: .

Все расчеты показаны в таблице:

f f f - f (f - f)2 (f - f)2/f
0 14 12 2 4 0.33
1 16 17 -1 1 0.06
2 10 12 -2 4 0.33
3 7 6 1 1 0.17
4 2 2 0 0 0
5 1 1 0 0 0
Итого - - - - 0,89

Фактическое значение c2 = 0,89 сравниваем с критическим, определяемым по специальным таблицам (приложение 2) в зависимости от принимаемого уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровень значимости (a) обычно принимается равным 5 % (a=0,05 ).

Число степеней свободы (k) рассчитывается: k = m – 1 – b ,

Где m – число групп в ряду распределения; b - число параметров эмпирического распределения, использованных для нахождения теоретических частот, для закона Пуассона b = 1 (а= ), следовательно k =6-1-1=4. Таким образом определяем критическое табличное значение (см. приложение 2 для и k = 4).

Так как фактическое c2=0,89 оказывается меньше табличного (критического) , то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными, т.е. гипотезу о близости фактического распределения к распределению Пуассона принимаем.

2) Применим критерий Романовского: = .

Так как с < 3, то расхождения между фактическими и теоретическими частотами считаем случайными, гипотезу о распределении Пуассона принимаем.

3) По критерию Колмогорова получаем: .

Расчет величины D представлен в таблице (см.ниже).Следовательно найдем значение критерия:

Накопленные частоты
Эмпирические (s) Теоретические (s)
2 (D)

Далее находится вероятность Р(λ) (приложение 3). Чем ближе вероятность к 1, тем с большей уверенностью можно утверждать, что расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайны, и, таким образом, подтвердить или опровергнуть гипотезу о наличии того или иного характера распределения в эмпирическом ряду.

В нашем случае Р(λ)=1,00, т.е. с вероятностью 100% можно утверждать, что расхождения между фактическими и теоретическими частотами случайны, следовательно гипотезу можно принять с этой вероятностью.

 

Итак, все три критерия оценивают расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами как случайные, не опровергая тем самым выдвинутую гипотезу о том, что распределение станков по числу неисправностей подчиняется закону Пуассона.

 

 


Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 22 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2020 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав