Читайте также:
|
|
Дана выборка объема n= 30:
46. |
Требуется:
Провести полную обработку экспериментальных данных по заданной выборке объема n, взятой из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины X с заданной доверительной вероятностью g.
1. Найти вариационный ряд, полигон частот (таблица 1).
2. Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7-10 интервалов), построить гистограмму частот (таблица 2).
3. Методом условных вариант найти выборочное среднее и выборочную дисперсию .
4. Найти доверительный интервал для
а) в случае известной s (считать ),
б) в случае неизвестной s.
5. Найти доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения .
6. По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности .
Решение. 1) По данной выборке находим:
Полигоном статистического распределения называется ломаная линия на плоскости Oxy, соединяющая точки , где n – объем выборки, – значение статистического ряда, а - число значений в выборке.
Составим таблицу
№ | xi | mi | mi / n |
1/30 | |||
1/15 | |||
1/30 | |||
1/30 | |||
1/15 | |||
1/15 | |||
1/10 | |||
1/10 | |||
2/15 | |||
1/10 | |||
1/15 | |||
1/15 | |||
1/30 | |||
1/15 | |||
1/30 | |||
∑ |
Нанесем на плоскости Oxy точки
где i – порядковый номер варианты Соединив эти точки последовательно, получим ломаную линию – полигон частот задачи
2) Найдем «размах» выборки: Поэтому для составления интервального статистического ряда выберем число интервалов из условия:
где l – длина интервала. Отсюда находим:
Следовательно, выберем l = 2, тогда число интервалов будет равно 8.
Интервальный статистический ряд запишем в таблицу
№ | [ ai; ai+1) | mi |
[36;38) | ||
[38;40) | ||
[40;42) | ||
[42;44) | ||
[44;46) | ||
[46;48) | ||
[48;50) | ||
[50;52] |
В системе координат Oxy на оси Ox отложим точки a 1 ,…,a 9 .(концы интервалов)
Построим прямоугольники с основанием [ ai; ai+ 1) и высотой ,
где i = 1,…,8. Построенное ступенчатое тело – гистограмма частот задачи.
3) Для нахождения оценок параметров выборки составим по интервальному статистическому ряду расчетную таблицу, заменив в ней каждый интервал его средним значением .
№ | [ ai; ai+1) | xi | mi | xi mi | ||
[36;38) | ||||||
[38;40) | ||||||
[40;42) | ||||||
[42;44) | ||||||
[44;46) | ||||||
[46;48) | ||||||
[48;50) | ||||||
[50;52] | ||||||
∑ |
Тогда получаем:
4) а) При построении доверительного интервала для математического ожидания M (X) =m с известной дисперсией D (X) =s2= 19,81 воспользуемся формулой:
где находим с помощью таблицы
Значения функции
x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 | 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 | 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 | 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 | 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 | 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 | 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 | 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 |
Продолжение таблицы далее:
x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
1,26 | 0,3962 | 1,59 | 0,4441 | 1,92 | 0,4726 | 2,50 | 0,4938 |
1,27 | 0,3980 | 1,60 | 0,4452 | 1,93 | 0,4732 | 2,51 | 0,4941 |
1,28 | 0,3997 | 1,61 | 0,4463 | 1,94 | 0,4738 | 2,54 | 0,4945 |
1,29 | 0,4015 | 1,62 | 0,4474 | 1,95 | 0,4744 | 2,56 | 0,4948 |
1,30 | 0,4032 | 1,63 | 0,4484 | 1,96 | 0,4750 | 2,58 | 0,4951 |
1,31 | 0,4049 | 1,64 | 0,4495 | 1,97 | 0,4756 | 2,60 | 0,4953 |
1,32 | 0,4066 | 1,65 | 0,4505 | 1,98 | 0,4761 | 2,62 | 0,4956 |
1,33 | 0,4082 | 1,66 | 0,4515 | 1,99 | 0,4767 | 2,64 | 0,4959 |
1,34 | 0,4099 | 1,67 | 0,4525 | 2,00 | 0,4772 | 2,66 | 0,4961 |
1,35 | 0,4115 | 1,68 | 0,4535 | 2,02 | 0,4783 | 2,68 | 0,4963 |
1,36 | 0,4131 | 1,69 | 0,4545 | 2,04 | 0,4793 | 2,70 | 0,4965 |
1,37 | 0,4147 | 1,70 | 0,4554 | 2,06 | 0,4803 | 2,72 | 0,4967 |
1,38 | 0,4162 | 1,71 | 0,4564 | 2,08 | 0,4812 | 2,74 | 0,4969 |
1,39 | 0,4177 | 1,72 | 0,4573 | 2,10 | 0,4821 | 2,76 | 0,4971 |
1,40 | 0,4192 | 1,73 | 0,4582 | 2,12 | 0,4830 | 2,78 | 0,4973 |
1,41 | 0,4207 | 1,74 | 0,4591 | 2,14 | 0,4838 | 2,80 | 0,4974 |
1,42 | 0,4222 | 1,75 | 0,4499 | 2,16 | 0,4846 | 2,82 | 0,4976 |
1,43 | 0,4236 | 1,76 | 0,4608 | 2,18 | 0,4854 | 2,84 | 0,4977 |
1,44 | 0,4251 | 1,77 | 0,4616 | 2,20 | 0,4861 | 2,86 | 0,4979 |
1,45 | 0,4265 | 1,78 | 0,4625 | 2,22 | 0,4868 | 2,88 | 0,4980 |
1,46 | 0,4279 | 1,79 | 0,4633 | 2,24 | 0,4875 | 2,90 | 0,4981 |
1,47 | 0,4292 | 1,80 | 0,4641 | 2,26 | 0,4881 | 2,92 | 0,4982 |
1,48 | 0,4306 | 1,81 | 0,4649 | 2,28 | 0,4887 | 2,94 | 0,4984 |
1,49 | 0,4319 | 1,82 | 0,4656 | 2,30 | 0,4893 | 2,96 | 0,4985 |
1,50 | 0,4332 | 1,83 | 0,4664 | 2,32 | 0,4898 | 2,98 | 0,4986 |
1,51 | 0,4345 | 1,84 | 0,4671 | 2,34 | 0,4904 | 3,00 | 0,49865 |
1,52 | 0,4357 | 1,85 | 0,4678 | 2,36 | 0,4909 | 3,20 | 0,49931 |
1,53 | 0,4370 | 1,86 | 0,4686 | 2,38 | 0,4913 | 3,40 | 0,49966 |
1,54 | 0,4382 | 1,87 | 0,4693 | 2,40 | 0,4918 | 3,60 | 0,499841 |
1,55 | 0,4394 | 1,88 | 0,4699 | 2,42 | 0,4922 | 3,80 | 0,499928 |
1,56 | 0,4406 | 1,89 | 0,4706 | 2,44 | 0,4927 | 4,00 | 0,499968 |
1,57 | 0,4418 | 1,90 | 0,4713 | 2,46 | 0,4931 | 4,50 | 0,499997 |
1,58 | 0,4429 | 1,91 | 0,4719 | 2,48 | 0,4934 | 5,00 | 0,499997 |
() из уравнения
Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:
т.е.
б) При построении доверительного интервала для математического ожидания M (X) =m с неизвестной дисперсией воспользуемся формулой:
где находим с помощью таблицы
Таблица значений
n | n | ||||||
0,95 | 0,99 | 0,999 | 0,95 | 0,99 | 0,999 | ||
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 | 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 | 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,68 | 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92 | 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 ∞ | 2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,001 1,987 1,984 1,980 1,960 | 2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2,640 2,633 2,627 2,617 2,576 | 3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 3,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291 |
при
Следовательно, искомый интервал имеет вид:
т.е.
5) При построении доверительного интервала среднего квадратического отклонения воспользуемся формулой:
где s = 4,45 – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, = 0,43 – число, которое находим с помощью таблицы
Таблица значений
n | n | ||||||
0,95 | 0,99 | 0,999 | 0,95 | 0,99 | 0,999 | ||
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 | 1,37 1,09 0,92 0,80 0,71 0,65 0,59 0,55 0,52 0,48 0,46 0,44 0,42 0,40 0,39 | 2,67 2,01 1,62 1,38 1,20 1,08 0,98 0,90 0,83 0,78 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 | 5,64 3,88 2,98 2,42 2,06 1,80 1,60 1,45 1,33 1,23 1,15 1,07 1,01 0,96 0,92 | 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 250 | 0,37 0,32 0,28 0,26 0,24 0,22 0,21 0,188 0,174 0,161 0,151 0,143 0,115 0,099 0,089 | 0,58 0,49 0,43 0,38 0,35 0,32 0,30 0,269 0,245 0,226 0,211 0,298 0,160 0,136 0,120 | 0,88 0,73 0,63 0,56 0,50 0,46 0,43 0,38 0,34 0,31 0,29 0,27 0,211 0,185 0,162 |
при
Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:
т.е.
6) Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой взята данная в примере выборка, составим расчетную таблицу, используя интервальный статистический ряд.
Для нахождения чисел воспользуемся формулой:
где
причем
№ | [ ai; ai+1) | mi | ||||
[36;38) | - | -1,46 | 2,16 | 0,33 | ||
[38;40) | -1,46 | -1,01 | 2,52 | 0,11 | ||
[40;42) | -1,01 | -0,56 | 3,94 | 0,96 | ||
[42;44) | -0,56 | -0,11 | 5,06 | 0,001 | ||
[44;46) | -0,11 | 0,34 | 5,31 | 0,54 | ||
[46;48) | 0,34 | 0,79 | 4,56 | 0,04 | ||
[48;50) | 0,79 | 1,24 | 3,23 | 0,02 | ||
[50;52) | 1,24 | + | 3,22 | 0,02 | ||
∑ | 2,02 |
Следовательно,
Число находим из таблицы
Критические точки распределения
Число степеней свободы k | Уровень значимости a | |||||
0,01 | 0,025 | 0,05 | 0,95 | 0,975 | 0,89 | |
6,6 | 5,0 | 3,8 | 0,0039 | 0,00098 | 0,00016 | |
9,2 | 7,4 | 6,0 | 0,103 | 0,051 | 0,020 | |
11,3 | 9,4 | 7,8 | 0,352 | 0,216 | 0,115 | |
13,3 | 11,1 | 9,5 | 0,711 | 0,484 | 0,297 | |
15,1 | 12,8 | 11,1 | 1,15 | 0,831 | 0,554 | |
16,8 | 14,4 | 12,6 | 1,64 | 1,24 | 0,872 | |
18,5 | 16,0 | 14,1 | 2,17 | 1,69 | 1,24 | |
20,1 | 17,5 | 15,5 | 2,73 | 2,18 | 1,65 | |
21,7 | 19,0 | 16,9 | 3,33 | 2,70 | 2,09 | |
23,2 | 20,5 | 18,3 | 3,94 | 3,25 | 2,56 | |
24,7 | 21,9 | 19,7 | 4,57 | 3,82 | 3,05 | |
26,2 | 23,3 | 21,0 | 5,23 | 4,40 | 3,57 | |
27,7 | 24,7 | 22,4 | 5,89 | 5,01 | 4,11 | |
29,1 | 26,1 | 23,7 | 6,57 | 5,63 | 4,66 | |
30,6 | 27,5 | 25,0 | 7,26 | 6,26 | 5,23 | |
32,0 | 28,8 | 26,3 | 7,96 | 6,91 | 5,81 | |
33,4 | 30,2 | 27,6 | 8,67 | 7,56 | 6,41 | |
34,8 | 31,5 | 28,9 | 9,39 | 8,23 | 7,01 | |
36,2 | 32,9 | 30,1 | 10,1 | 8,91 , | 7,63 | |
37,6 | 34,2 | 31,4 | 10,9 | 9,59 | 8,26 | |
38,9 | 35,5 | 32,7 | 11,6 | 10,3 | 8,90 | |
40,3 | 36,8 | 33,9 | 12,3 | 11,0 | 9,54 | |
41,6 | 38,1 | 35,2 | 13,1 | 11,7 | 10,2 | |
43,0 | 39,4 | 36,4 | 13,8 | 12,4 | 10,9 | |
44,3 | 40,6 | 37,7 | 14,6 | 13,1 | 11,5 | |
45,6 | 41,9 | 38,9 | 15,4 | 13,8 | 12,2 | |
47,0 | 43,2 | 40,1 | 16,2 | 14,6 | 12,9 | |
48,3 | 44,5 | 41,3 | 16,9 | 15,3 | 13,6 | |
49,6 | 45,7 | 42,6 | 17,7 | 16,0 | 14,3 | |
50,9 | 47,0 | 43,8 | 18,5 | 16,8 | 15,0 |
по уровню значимости и числу степеней свободы
Сравним числа:
Так как
и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 189 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Тест к теме 12. | | | Рентабельность.Показатели прибыли дополняются показателями рентабельности. |