Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности

Читайте также:
  1. Amp;Сравнительная характеристика различных методов оценки стоимости
  2. I. Доказывание, понятие и общая характеристика
  3. I. Клинико - эпидемиологические характеристики геморрагических лихорадок и геморрагической лихорадки с почечным синдромом.
  4. I. Сущность общественного мнения, его характеристики и проблемы изучения.
  5. II. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЖИЗНИ
  6. II. Оценка эффективности использования основных средств
  7. II. Практическое задание №1. Ряды распределений и их характеристики
  8. II. Характеристика отдельных типов половых гормонов.
  9. II. ХАРАКТЕРИСТИКА ПЯТИ СОЦИЕТАЛЬНЫХ ГРУПП
  10. II. Характеристика распределения населения по доходу.

Оценка характеристики распределения называется точечной, если она определяется одним числом, которому приближенно равна оцениваемая характеристика.

Генеральной средней дискретной генеральной совокупности называется среднее арифметическое всех значений изучаемого признака X в генеральной совокупности:

, (3)

где N – объем генеральной совокупности.

Формула (3) имеет лишь теоретическое значение, так как на практике имеют дело не со всей генеральной совокупностью, а только с некоторой выборкой из нее.

Наилучшей оценкой генеральной средней является средняя выборочная, определяемая как среднее арифметическое всех значений изучаемого признака в выборке:

, (4)

 

где - частота встречаемости значения в выборке, - количество вариант, - объем выборки.

Математическим выражением того факта, что средняя выборочная представляет собой наилучшую оценку генеральной средней, является приближенное равенство

 

, (5)

 

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений изучаемого признака X в генеральной совокупности от генеральной средней:

, (6)

 

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии является так называемая исправленная выборочная дисперсия , определяемая по формуле

 

, (7)

 

Математическим выражением того факта, что исправленная выборочная дисперсия представляет собой наилучшую оценку генеральной дисперсии, является приближенное равенство

 

, (8)

 

Генеральным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной дисперсии:

, (9)

 

Наилучшей оценкой генерального среднего квадратического отклонения является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле

 

, (10)

 

Математическим выражением того факта, что исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение представляет собой наилучшую оценку генерального среднего квадратического отклонения, является приближенное равенство

 

, (11)

 

Пример 2. При подсчете количества листьев на каждом из 20 комнатных растений определенного вида получены следующие результаты: 11, 10, 9, 10, 7, 11, 11, 13, 10, 8, 12, 10, 9, 12, 9, 10, 8, 12, 11, 10. Дать точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

Решение. Из полученных результатов видно, что количество листьев на растениях варьируется от 7 до 13. Значение 7 встречается 1 раз, значение 8 - 2 раза, значение 9 – 3 раза и т.д. Таким образом, можно составить следующий дискретный ряд распределения:

X 7 8 9 10 11 12 13
m 1 2 3 6 4 3 1

По формуле (4) найдем среднюю выборочную:

.

Таким образом, точечная оценка генеральной средней имеет вид:

 

.

 

Используя значение средней выборочной , по формуле (7) найдем исправленную выборочную дисперсию:

 

и в соответствии с (8) получим точечную оценку генеральной дисперсии :

 

.

 

Далее, по формуле (10) найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение :

 

и в соответствии с (11) получим:

.

 

 

5.Интервальные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности

Оценка характеристики распределения называется интервальной, если она определяется двумя числами - границами интервала, содержащего оцениваемую характеристику.

В математической статистике используют так называемые доверительные интервалы, соответствующие заданной доверительной вероятности.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки числовой характеристики с помощью доверительного интервала называется вероятность того, что эта характеристика находится в данном интервале.

Чем шире доверительный интервал, тем выше соответствующая доверительная вероятность, и наоборот: чем большую доверительную вероятность мы хотим обеспечить, тем большим окажется соответствующий доверительный интервал.

В фармации, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99.

Рассмотрим метод нахождения доверительного интервала для заданной доверительной вероятности при оценке генеральной средней по результатам выборочных наблюдений. Предполагается, что изучаемый признак в генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Метод основан на использовании распределения Стьюдента для случайной величины

 

, (12)

 

где

= , (13)

 

- исправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной.

Полуширина доверительного интервала для интервальной оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности находится по формуле

 

, (14)

 

где - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы . Тогда интервальная оценка генеральной средней представляется доверительным интервалом

 

, (15)

 

в котором с доверительной вероятностью находится генеральная средняя .

Пример 3. При доверительной вероятности дать интервальную оценку генеральной средней количества листьев на комнатных растениях определенного вида по данным примера 1.

Решение. Пользуясь вычисленным в примере 1 значением исправленного выборочного среднего квадратического отклонения , по формуле (13) найдем исправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной

 

.

 

По таблицам, для доверительной вероятности и числа степеней свободы распределения Стьюдента находим соответствующее значение коэффициента Стьюдента: . По формуле (14) для полуширины доверительного интервала получаем

 

.

 

Учитывая, что , окончательно получаем, что с доверительной вероятностью 0,95 генеральная средняя количества листьев на комнатных растениях рассматриваемого вида находится в интервале .

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

Определения генеральной и выборочной статистической совокупностей.

1. Понятие о статистическом дискретном ряде распределения.

2. Понятие о статистическом интервальном ряде распределения.

4.Основные числовые характеристики выборочной статистической совокупности.

5.Точечные и интервальные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

6.Распределение Стьюдента.

 

Студент должен уметь:

1.Строить полигоны частот и относительных частот.

2.Строить гистограммы частот и относительных частот.

3.Находить точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

4.Находить интервальные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

4.Содержание обучения:

Теоретическая часть:

1.Определения генеральной и выборной статистической совокупностей. Объем выборки.

2.Статистический дискретный ряд распределения.

3.Полигоны частот и относительных частот.

4.Статистический интервальный ряд распределения.

5.Гистограммы частот и относительных частот.

6.Точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

7.Интервальные оценки числовых характеристик генеральной совокупности:

Практическая часть:

1.Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой, случайным образом отобраны 20 коробочек некоторого препарата, количество таблеток в которых оказалось равным соответственно 48, 52, 50, 49, 51, 50, 47, 50, 49, 50, 51, 52, 48, 51, 50, 47, 49, 46, 53, 50. Представить эти данные в виде дискретного статистического ряда распределения и построить полигон частот, а также полигон относительных частот.

2.Измерение веса Р 30 студентов дало следующие результаты (в кг): 61, 67, 73,74, 80, 68, 69, 57, 88, 82, 70, 60, 75, 76, 90, 76, 75, 58, 62, 79, 61, 69, 85, 82, 80, 66, 71, 82, 83, 80. Построить статистический интервальный ряд распределения величины Р, а также гистограммы частот и относительных частот.

3.При измерении артериального давления у случайным образом отобранных 30 пациентов клиники получены следующие результаты (в мм. рт. ст.): 151, 166, 133, 155, 179, 148, 143, 128, 138, 172, 163, 157, 158, 136, 169, 153, 142, 147, 134, 164, 167, 131, 152, 156, 161, 154, 149, 122, 176, 145. Представить эти данные в виде интервального статистического ряда распределения и построить гистограмму относительных частот.

4.Изучался рост (см) мужчин возраста 25 лет для сельской местности. По случайной выборке объема 35 получены следующие результаты: 175, 167, 168, 169, 168, 170. 172, 171, 177, 174, 167, 170, 171, 171, 172, 173, 167, 174, 172, 177, 173, 174, 173, 169, 171, 173, 173, 168, 173, 172, 166, 164, 168, 172, 174. Представить эти данные в виде интервального статистического ряда распределения и построить гистограммы частот и относительных частот.

5.Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n =50

 

 

Х        
m        

 

Дать точечную оценку генеральной средней.

6.Дать точечную оценку генеральной дисперсии по данному распределению выборки объема n=100

 

Х        
m        

 

7.Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n =10

 

Х 23,5 26,1 28,2 30,4
m        

 

8.При подсчете количества листьев на каждом из 25 комнатных растений определенного вида получены следующие результаты: 7, 12, 10, 11, 8, 9, 10, 7, 13, 12, 8, 9, 10, 12, 11, 11, 7, 8, 9, 12, 12, 13, 13, 8, 10. При доверительной вероятности γ = 0,95 дать интервальную оценку генеральной средней количества листьев на растениях.

9.При 5- кратном измерении диаметра Д и высоты Н цилиндра получены следующие результаты (в см):

 

Д 4,00 4,05 3,95 3,90 4,00
Н 5,1 5,0 5,0 4,9 5,1

 

Дать точечную и интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0,95) оценки истинного объема цилиндра.

5. Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1.Дайте определение статистической совокупности.

2.Что называется генеральной статистической совокупностью и выборкой?

3.Что называется вариантами и их частотами?

4.Дайте определение статистического дискретного ряда распределения.

5.Что собой представляет полигон частот?

6.Какая оценка характеристики распределения называется точечной?

7.Запишите формулы для генеральной средней, выборочной средней, генеральной дисперсии, исправленной выборочной дисперсии, генерального среднего квадратического отклонения, исправленного выборочного среднего квадратического отклонения.

8.Что называется интервальной оценкой числовой характеристики?

9.Дайте определения доверительного интервала и доверительной вероятности.

 

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1.Как строится полигон относительных частот?

2.Опишите построение статистического интервального ряда распределения.

3.Что собой представляют гистограммы частот и относительных частот? (проиллюстрируйте).

4.В чем состоит преимущество гистограммы относительных частот по сравнению с гистограммой частот для непрерывного признака?

5.Чем определяется ценность выборочных характеристик распределения?

6.Запишите формулу распределения Стьюдента для случайной величины.

7.Что называется исправленным средним квадратическим отклонением средней выборочной?

8.Запишите формулу для полуширины доверительного интервала для интервальной оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности.

 

7 Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 30 мин.

3. Решение ситуационых задач – 60 мин.

4. Текущий контроль знаний – 35 мин

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

 

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1.Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 9.1.-9.3.

2.Павлушков И.В и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, §§8.1., 8.2.

3.Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Медицинская и биологическая физика. М., «Дрофа», 2008, §§ 3.1., 3.2

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 168 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.019 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав