Читайте также:
|
|
Одной из основных задач математической статистики, как уже отмечалось, является нахождение приближенного значения некоторого неизвестного параметра а случайной величины Х по выборке ее значений x1, х2, x3, … xn, полученной в результате п измерений (наблюдений, опытов). Таким параметром может, например, являться математическое ожидание случайной величины или ее дисперсия. Приближенное значение параметра а, вычисленное каким-либо способом по значениям выборки x1, х2, x3, … xn, в статистике называют точечной оценкой этого параметра и обозначают . Значения выборки являются случайными величинами, оценка — также случайная величина, представляющая собой числовую функцию от результатов п измерений. Чтобы эта оценка представляла интерес для практики, она должна удовлетворять определенным требованиям, которые обеспечивают ее близость к оцениваемому параметру. Такими требованиями являются несмещенность и состоятельность.
Точечная оценка параметра а называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно а, т. е. если
М()=а
В противном случае, т. е. если М() а, оценка называется смещенной. Использование несмещенных оценок позволяет избежать систематических ошибок при замене неизвестного параметра а его оценкой . При большом количестве измерений требуется также, чтобы с вероятностью, близкой к единице, оценка мало отличалась от параметра а.
Пусть имеется некоторая выборка объема n: x1, х2, x3, … xn. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выброчная средняя - среднее арифметическое значений выборки:
(5)
Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу (5) естественно записать в следующем виде:
(6)
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней.
(7)
Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу
(7) можно записать так:
(8)
Формулы (7) и (8) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду:
(9)
т. е. выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений выборки без квадрата выборочной средней.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
(10)
где S0 — выборочная дисперсия, п — объем выборки. Отсюда, используя формулу (7),
(11)
Пример 3. Для выборки 4,5,3,2, 1,2,0,7,7,3 найти выборочную среднюю , выборочную дисперсию S0, исправленную выборочную дисперсию S.
Решение: объем выборки п = 10. По формуле (5) находим выборочную среднюю:
Чтобы найти выборочную дисперсию, воспользуемся формулой (9). Для этого вычислим среднее квадратов значений выборки: 4.
Теперь по формуле (9) находим S0 = 16,6 -3,42= 5,04.
Наконец, используя формулу (10), вычисляем исправленную выборочную дисперсию:
S =
Пример 4. Для выборки 3,8-1,3,0,5,3,4,3,5 найти выборочную среднюю , выборочную дисперсию S0, исправленную выборочную дисперсию S.
Решение: для данной выборки в примере 1 был получен статистический ряд
-1 | ||||
Объем выборки п =10. Выборочную среднюю найдем по формуле (6):
Вычислим среднее квадратов значений выборки:
Согласно формуле (9) находим выборочную дисперсию:
S0 = 15,2-2,82= 7,36.
Для вычисления исправленной выборочной дисперсии воспользуемся формулой (10):
S = = 8,18
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 46 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |