Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным

Пусть изучается система количественных признаков (X, Y). В результате п независимых опытов получены п пар чисел (x ₁ y ₁), (х ₂ y ₂),..., (х_п, у_n).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать уравнение регрессии Y на X: =kx + b.

Поскольку различные значения х признака X и соответствующие им значения у признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:

y = kx + b.

Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают через r _ух; Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида

Y = r _ух x + b. (1)

Подберем параметры r _ух и b так, чтобы точки (x ₁ y ₁),(х ₂ y ₂),..., (х_п, у_n),построенные по данным наблюдений, на плоскости Оху лежали как можно ближе к прямой (1). Назовем отклонением разность Y_i – y_i (i =l, 2,..., n), где Y_i – вычисленная по уравнению (1) ордината, соответствующая наблюдаемому значению х_i; у_i – наблюдаемая ордината, соответствующая х_i.

Подберем параметры r _ух и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция этих параметров (временно вместо r _ух будем писать r):

,

или

Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные:

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно rи b:

. (2)

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

(3)

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y: = r_xyx + C, где r_ху – выборочный коэффициент регрессии X на Y.

Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение х может встретиться п_х раз, одно и то же значение у – п_у раз, одна и та же пара чисел (х, у)может наблюдаться п_ху раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т. е. подсчитывают частоты п_х, п_у, п_ху. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.