Читайте также:
|
|
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ
ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математическая статистика»
Составители: Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
МОСКВА 2008
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения:Методические указания к практическим занятиямпо дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2008. – 20 с.
ÓЕгорова Ю.Б.,
Мамонов И.М.,
составление, 2008
Ó МАТИ, 2008
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания. В настоящее время существует достаточно большое количество статистических программ, предназначенных для работы на персональном компьютере. Однако для лучшего понимания изучаемого материала индивидуальное задание рекомендуется выполнить «вручную» (с помощью калькулятора).
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА
Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемой величины.
Обозначим через Х исследуемую случайную величину. Из генеральной совокупности значений случайной величины Х сделаем выборку объемом n. По выборке можно оценить эмпирический закон распределения, например, с помощью статистического распределения частот и относительных частот, построения полигона, гистограммы, кумуляты, нахождения эмпирической функции распределения F*(x).
Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет некоторый предполагаемый теоретический закон распределения.
Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет предполагаемого теоретического закона распределения.
Пусть эмпирическое распределение задано в виде статистического распределения частот, т.е. в виде перечня вариант xi и соответствующих им эмпирических частот ni (табл.1).
Таблица 1
Статистическое распределение частот
xi | x1 | x2 | … | xn |
ni | n1 | n2 | nn |
Для каждого значения xi определим теоретические (выравнивающие) частоты . При уровне значимости a необходимо проверить, насколько сильно эмпирические частоты отличаются от теоретических частот.
В этом случае в качестве критерия согласия для проверки статистической гипотезы о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина c2, которая называется критерием согласия Пирсона:
Случайная величина c2 имеет распределение Пирсона с k=s-r- 1 степенями свободы, где s – число частичных интервалов выборки,
r – число параметров закона распределения, которые определяются по выборке (табл.2).
Таблица 2
Число степеней свободы критерия Пирсона
Теоретический закон распределения | Параметры закона распределения | Число параметров r | Число степеней свободы k = s-r- 1 |
Нормальный | m; s | k = s -3 | |
Равномерный | a, b | k = s -3 | |
Показательный | λ | k = s -2 | |
Биномиальный | p | k = s -2 | |
Пуассона | λ | k = s -2 |
Порядок проверки нулевой гипотезы:
1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .
2) по таблице распределения Пирсона (см. Приложение 1) определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k.
3) Если , то нулевая гипотеза принимается.
Если , то нулевая гипотеза отвергается.
Для применения критерия Пирсона необходимо, чтобы данные были представлены в виде интервального (группированного) статистического ряда и в каждом интервале частота была не менее 5. Если в каком-нибудь интервале частота меньше 5, то необходимо объединить соседние интервалы.
ПРИМЕР 1. Исследуется случайная величина Х – изменение выработки на одного рабочего механического цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим. Получены данные по 100 рабочим цеха, на основании которых был составлен интервальный статистический ряд (табл. 3), определены выборочное среднее , выборочная дисперсия D*(X)= 87,48 (%)2 и выборочное среднее квадратическое отклонение s*(X)= 9,35%.
Таблица 3
Группированный статистический ряд
№ интервала | ||||||||
Dxi, % | 94-100 | 100-106 | 106-112 | 112-118 | 118-124 | 124-130 | 130-136 | 136-142 |
ni |
С помощью критерия Пирсона при уровне значимости a =0,05 необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
РЕШЕНИЕ. Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами N (119,2; 9,35). Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет нормального закона распределения с параметрами N (119,2; 9,35).
Сначала определяем теоретические (выравнивающие) частоты по формуле: где pi – вероятность попадания случайной величины Х в i -интервал. Для расчета pi используем функцию Лапласа (см. приложение 3):
где α и b – концы i -интервала. Например:
Для определения вероятностей, теоретических частот и критерия Пирсона удобно составить таблицу (см. табл.4). Частоты в первом и последнем восьмом интервале меньше 5, поэтому их целесообразно объединить с соседними.
Таблица 4
Вспомогательная таблица для расчета критерия Пирсона
№ i -интер- вала | Интервал D xi [α¸b] | Эмпирические частоты ni | Вероятность попадания в i -интервал pi | Теоретические частоты | Эмпирическая плотность распределения вероятностей f*(x) | |||
94-100 | 0,017 | 1,7 | 7,6 | 0,758 | 0,003 | |||
100-106 | 0,059 | 5,9 | 0,010 | |||||
106-112 | 0,141 | 14,1 | 0,682 | 0,024 | ||||
112-118 | 0,228 | 22,8 | 0,344 | 0,038 | ||||
118-124 | 0,247 | 24,7 | 0,441 | 0,041 | ||||
124-130 | 0,182 | 18,2 | 0,035 | 0,030 | ||||
130-136 | 0,087 | 8,7 | 11,6 | 0,14 | 0,015 | |||
136-142 | 0,029 | 2,9 | 0,005 | |||||
å | »1,0 | »100 | c2 =2,27 | – |
Порядок проверки нулевой гипотезы:
1) Определяем наблюдаемое значение критерия (см. табл.4).
2) Определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимости α =0,05 и числа степеней свободы k. Новое число интервалов (с учетом объединения крайних) s =6, поэтому число степеней свободы k = s –3=6–3=3. По таблице распределения Пирсона (см. Приложение 1) определяем
3) Так как , то нулевая гипотеза принимается. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения с параметрами N (119,2; 48) согласуется с опытными данными.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 61 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |