Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА

Читайте также:
  1. АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА
  2. Исследование устойчивости по критерию Гурвица
  3. Коэффициент линейной корреляции Пирсона. Уравнение регрессии.
  4. Критерий Пирсона для непрерывных распределений
  5. Критерий согласия Пирсона.
  6. Критическим значением критерия Пирсона называют его максимальное значение при условии случайного происхождения отклонений между теоретическими и эмпирическими частотами.
  7. Отбор инвестиционных объектов по критерию ликвидности
  8. Оценка инвестиционного портфеля по критерию риска.
  9. Оценка устойчивости системы по критерию Найквиста
  10. По какому критерию Маркс выделяет формации?

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ

ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математическая статистика»

 

 

Составители: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

 

 

МОСКВА 2008

 

 

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения:Методические указания к практическим занятиямпо дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2008. – 20 с.

 

ÓЕгорова Ю.Б.,

Мамонов И.М.,

составление, 2008

 

Ó МАТИ, 2008

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания. В настоящее время существует достаточно большое количество статистических программ, предназначенных для работы на персональном компьютере. Однако для лучшего понимания изучаемого материала индивидуальное задание рекомендуется выполнить «вручную» (с помощью калькулятора).

 

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемой величины.

Обозначим через Х исследуемую случайную величину. Из генеральной совокупности значений случайной величины Х сделаем выборку объемом n. По выборке можно оценить эмпирический закон распределения, например, с помощью статистического распределения частот и относительных частот, построения полигона, гистограммы, кумуляты, нахождения эмпирической функции распределения F*(x).

Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет некоторый предполагаемый теоретический закон распределения.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет предполагаемого теоретического закона распределения.

Пусть эмпирическое распределение задано в виде статистического распределения частот, т.е. в виде перечня вариант xi и соответствующих им эмпирических частот ni (табл.1).

Таблица 1

Статистическое распределение частот

xi x1 x2 xn
ni n1 n2   nn

 

Для каждого значения xi определим теоретические (выравнивающие) частоты . При уровне значимости a необходимо проверить, насколько сильно эмпирические частоты отличаются от теоретических частот.

В этом случае в качестве критерия согласия для проверки статистической гипотезы о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина c2, которая называется критерием согласия Пирсона:

Случайная величина c2 имеет распределение Пирсона с k=s-r- 1 степенями свободы, где s – число частичных интервалов выборки,

r – число параметров закона распределения, которые определяются по выборке (табл.2).

Таблица 2

Число степеней свободы критерия Пирсона

Теоретический закон распределения Параметры закона распределения Число параметров r Число степеней свободы k = s-r- 1
Нормальный m; s   k = s -3
Равномерный a, b   k = s -3
Показательный λ   k = s -2
Биномиальный p   k = s -2
Пуассона λ   k = s -2

 

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2) по таблице распределения Пирсона (см. Приложение 1) определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k.

3) Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается.

 

Для применения критерия Пирсона необходимо, чтобы данные были представлены в виде интервального (группированного) статистического ряда и в каждом интервале частота была не менее 5. Если в каком-нибудь интервале частота меньше 5, то необходимо объединить соседние интервалы.

 

 

ПРИМЕР 1. Исследуется случайная величина Х – изменение выработки на одного рабочего механического цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим. Получены данные по 100 рабочим цеха, на основании которых был составлен интервальный статистический ряд (табл. 3), определены выборочное среднее , выборочная дисперсия D*(X)= 87,48 (%)2 и выборочное среднее квадратическое отклонение s*(X)= 9,35%.

Таблица 3

Группированный статистический ряд

№ интервала                
Dxi, % 94-100 100-106 106-112 112-118 118-124 124-130 130-136 136-142
ni                

 

С помощью критерия Пирсона при уровне значимости a =0,05 необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.

РЕШЕНИЕ. Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами N (119,2; 9,35). Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет нормального закона распределения с параметрами N (119,2; 9,35).

Сначала определяем теоретические (выравнивающие) частоты по формуле: где pi – вероятность попадания случайной величины Х в i -интервал. Для расчета pi используем функцию Лапласа (см. приложение 3):

где α и b – концы i -интервала. Например:

 

Для определения вероятностей, теоретических частот и критерия Пирсона удобно составить таблицу (см. табл.4). Частоты в первом и последнем восьмом интервале меньше 5, поэтому их целесообразно объединить с соседними.

Таблица 4

Вспомогательная таблица для расчета критерия Пирсона

i -интер- вала Интервал D xi [α¸b] Эмпирические частоты ni Вероятность попадания в i -интервал pi Теоретические частоты   Эмпирическая плотность распределения вероятностей f*(x)
             
  94-100     0,017 1,7   7,6   0,758 0,003
  100-106   0,059 5,9 0,010
  106-112   0,141 14,1 0,682 0,024
  112-118   0,228 22,8 0,344 0,038
  118-124   0,247 24,7 0,441 0,041
  124-130   0,182 18,2 0,035 0,030
  130-136     0,087 8,7   11,6   0,14 0,015
  136-142   0,029 2,9 0,005
å   »1,0 »100 c2 =2,27

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) Определяем наблюдаемое значение критерия (см. табл.4).

2) Определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимости α =0,05 и числа степеней свободы k. Новое число интервалов (с учетом объединения крайних) s =6, поэтому число степеней свободы k = s –3=6–3=3. По таблице распределения Пирсона (см. Приложение 1) определяем

3) Так как , то нулевая гипотеза принимается. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения с параметрами N (119,2; 48) согласуется с опытными данными.

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 61 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав