Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функции распределения времени пребывания

Поле заголовка Content-Type идентифицирует тип информации в теле сообщения, которая посылается получающей стороне или, в случае метода HEAD, тип информации (среды), который был бы послан, если использовался метод GET.

Content-Type = «Content-Type» «:» тип-среды

Типы сред определены отдельно.

Пример:

Content-Type: text/plain$ charset=ISO-8859-4

Поле Content-Type не имеет значения по умолчанию.

Функции распределения времени пребывания

Как указывалось выше, для проточного реактора время пребы­вания в аппарате отдельных элементов потока является в общем случае непрерывной случайной величиной, т. е. имеет статисти­ческую природу. Непрерывная случайная величина может быть задана с помощью функций распределения случайной величины. Различают интегральную функцию распределения F(τ) и диффе­ренциальную функцию, или плотность распределения f(τ).

Интегральная функция распределения времени пребывания F(τ) – это объемная доля потока, выходящего из реактора, которая находи­лась в реакторе в течение времени, меньшего чем τ.

В терминах теории вероятности F(τ) – это вероятность того, что время пребывания потока, вошедшего при τ₀ = 0, не превысит некоторого значения τ_i:

F(τ_i) = Р ( τ ≤ τ_i )

Свойства интегральной функции распределения:

F (0) = 0;

F (∞) = 1

если τ₂ > τ₁, то F(τ₂) ≥ F ( τ₁ )

Если τ – непрерывная случайная величина, то F(τ) – непре­рывная функция, и тогда dF(τ) – это объемная доля выходного потока, время пребывания которой в аппарате находится между значениями τ и dτ.

Производная dF(τ)/dτ = f(τ) называется дифференциальной функцией распределения, или плотностью распределения случайной величины.

Дифференциальная функция распределения в данной задаче определена при τ > 0 и характеризуется следующими свойствами:

f (τ) ≥ 0

(12.1)

Величина f (τ)dτ имеет такой же физический смысл, что и dF(τ).

Например, если τ _i – какое-то конкретное значение времени пребывания в интервале от τ до τ + d τ, то

f(τ_i)dτ = [dF(τ_i)] = Р(τ ≤ τ_i ≤ τ + dτ) (12.2)

Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе находится в конечном интервале от τ₁ до τ₂

Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе больше любого заданного значения τ:

Среднее время пребывания фиксированной доли потока в ре­акторе равно математическому ожиданию непрерывной случайной величины, имеющей данную функцию распределения:

(12.3)

Экспериментальное изучение функций распределения

Экспериментально функция распределения времени пребыва­ния может быть найдена исследованием так называемых кривых отклика.

Итак, мы хотим знать, какое количество текущей жидкости бу­дет находиться в аппарате то или иное время. При этом отдель­ные частицы жидкости для нас неразличимы: мы не изучаем поле скоростей и не можем сказать, каким образом та или иная части­ца прошла от входа к выходу. Поэтому, обнаружив на выходе какую-либо частицу жидкости, нельзя сказать, вошла она в аппа­рат минуту назад или находилась в нем в течение часа.

Чтобы различить частицы, поступим так. Выделим из всей со­вокупности частиц те, которые вошли в аппарат в некоторый за­фиксированный момент. Момент этот примем за начало опыта. Если аппарат работает непрерывно в стационарном режиме то «судьба» выделенных частиц (например, распределение време­ни пребывания) не будет отличаться от «судьбы» любых других. Таким образом, выделенные частицы образуют представи­тельную выборку из генеральной совокупности частиц, дви­жущихся через аппарат. Для выделения интересующих нас частиц пометим жидкость, входящую в аппарат в момент, который примем за начало опыта (при τ = 0). Для этого во входящий поток быстро (теоретически мгновенно) добавляем порцию какой-либо примеси, называемой индикатором, или трассером. Схема установки изобра­жена на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Схема установки для измерения распределения времени пребывания:

1 - ввод индикатора; 2 - вход в аппарат; 3 - выход из аппарата; 4 – датчик концентрации индикатора; 5 - самописец.

Трассер должен быть легко количественно определим, должен отличаться по какому-либо свойству (окраске, электрической проводимости, оптической плотности, кислотности, радиоактив­ности и т. д.) от веществ основного потока.

Кроме того, его добавление не должно влиять на характер потока (в частности, его следует вводить ма­ло, чтобы существенно не изменять расход), а сам он должен дви­гаться вместе с потоком, ни с чем не реагируя и не сорбируясь. Так, к потоку воды можно добавить немного кислоты или краси­теля, к воздуху – немного СО₂ или Не. Начиная с момента τ = 0, на выходе из аппарата измеряют кон­центрацию индикатора с_и как функцию времени. Способ подачи трассера может быть различным: ступенча­тым (до момента времени τ₀ индикатор не вводили в поток, а с момента τ₀, его вводят с постоянным расходом), импульсным (мгно­венное введение порции индикатора) или периодическим (напри­мер, иметь синусоидальный характер). Для получения кривой от­клика на входной сигнал (т.е. выходной сигнал) измеряют в разные моменты времени концентрацию или количество индикатора в по­токе, выходящем из реактора.

Для определения интегральной функции распределения создают входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (рис. 12.3). Измеряя в этом случае концентрацию индикатора на выходе в момент времени τ _i, и отнеся ее к начальной концентрации определяют какая доля потока находилась в проточном аппарате в течение времени, меньшего τ _i.

Рис. 12.3. Входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (а)

и кривая отклика (выходной сигнал) на него (б).

Рис. 12.4. Входной сигнал импульсной формы (а)

и кривая отклика (выходной сигнал) отклика на него (б)

Такая относительная концентра­ция (безразмерная случайная величина)

изменяется от 0 до 1 и соответствует интегральной функции рас­пределения F(τ), т.е. функция Ĉ (τ) обладает теми же свойствами, что и функция F(τ).

Важно отметить, что время пребывания в реакторе индикатора такое же, как и частиц основного потока, помеченных индикато­ром. Так как величина Ĉ (τ) безразмерная, она одна и та же и для индикатора, и для помеченного этим индикатором потока.

Дифференциальная функция распределения f(τ) соответствует кривой отклика на сигнал импульсной формы (рис. 12.4). Пока­жем, что это действительно так.

Пусть в момент времени τ₀ на входе в проточный реактор импульсно введен индикатор в количестве n_и,0. В некоторый мо­мент времени τ _i, концентрация индикатора на выходе из аппарата составит c_и(τ _i), а произведение v c_и(τ _i), где v – объемный расход, будет равно расходу индикатора в выходном потоке. Если рассмот­реть два момента времени τ _i, и τ _i + d τ, отличающиеся между собой на бесконечно малую величину d τ, то произведение v c_и(τ _i) d τ покажет, какое количество индикатора покинет реактор за промежугок времени от τ _i до τ _i + d τ. Разделив это количество на n_и,0, получим долю от первоначального количества индикатора, находившегося в реакторе в течение времени τ _i от τ _i до τ _i + d τ. По опреде­лению такая доля равна dF(τ) или f (τ)dτ [уравнение (12.2)].

v c_и(τ _i) d τ = F( τ _i + d τ )- F( τ _i) = dF(τ) = f (τ)dτ

Следовательно,

(12.4)

Если v = const, а n_и,0 постоянна по своему смыслу при импульс­ном введении индикатора, функция c_и(τ) совпадает с функцией f (τ), с точностью до постоянного коэффициента. Это позволяет экспериментально получить дифференциальную функцию распределе­ния, измеряя во времени концентрацию индикатора.

Как и для интегральной функции распределения, по измене­нию концентрации индикатора c_и(τ) можно судить о времени пре­бывания в реакторе частиц потока, помеченных этим индикатором.

Рассмотрим теперь, как выглядят функции распределения для реакторов с идеальной гидродинамической обстановкой (реакто­ры идеального смешения и идеального вытеснения) и для реакто­ров, описываемых ячеечной и диффузионной моделями.

Функции распределения времени пребывания идеальных и неидеальных проточных реакторов

Реактор идеального смешения.

Выведем уравнение, позволяю­щее рассчитать интегральную функцию распределения F(τ) для сгационарного реактора идеального смешения, а затем дифферен­цированием этой функции получим дифференциальную функцию распределения f (τ).

В соответствии с допущениями об идеальности, любой бес­конечно малый элемент потока, вошедший в реактор идеального смешения, может сразу после ввода появиться с вероятностью f (τ₀+Δτ) в любой точке реактора или в потоке, выходящем из ре­актора. Следовательно, вероятность выхода такого элемента из реактора не зависит от его пути или его истории (длительности пребывания в реакторе). Поэтому вероятность того, что он оста­нется в аппарате дольше, чем в течение времени τ +Δτ, равна про­изведению вероятностей двух взаимно независимых событий:

1) время пребывания в реакторе больше чем τ;

2) время пребыва­ния в реакторе больше чем Δτ.

Вероятность первого события равна [1 - F(τ)] вероятность вто­рого [1 - F(Δτ)]. Тогда

(12.5)

По определению, F(Δτ) – это объемная доля потока, находя­щаяся в реакторе в течение времени, меньшего чем Δτ.

С другой стороны, за время Δτ из реактора выйдет реакционная смесь объемом v Δτ. Вероятность выхода из аппарата одинакова для всех элементов объема реактора идеального смешения. Поэтому

где – среднее время пребывания в реакторе.

Подставляя F(Δτ) в уравнение (12.5) при Δτ, стремящемся к бес­конечно малому приращению d τ, ΔF(τ) → dF(τ) получим диффе­ренциальное уравнение

(12.6)

Найдем его частное решение при начальном условии

F(0) = 0 (12.7)

Уравнение (12.6) – дифференциальное уравнение первого по­рядка с разделяющимися переменными. Представим его в следую­щем виде:

(12.8)

После интегрирования получим

(12.9)

Путем несложных преобразований уравнения (12.9) можно привести к виду

В соответствии с начальным условием (12.7) постоянная интег­рирования равна единице (M = 1). Окончательно имеем

(12.10)

Плотность распределения времени пребывания f (τ) может быть получена дифференцированием уравнения (12.10):

(12.11)

Графики функций F(τ) и f (τ) приведены на рис. 12.5.

Рис. 12.5. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределе­ния

времени пребывания в проточном реакторе идеального смешения

Реактор идеального вытеснения.

При плоском профиле линей­ных скоростей все частицы должны находиться и реакторе строго одинаковое время, равное среднему времени пребывания . Следовательно, для всех функция F(τ) = 0 и для всех функция F(τ) = 1.

Таким образом, интегральная функция распределения F(τ) для реактора идеального вытеснения – это разрывная функция, имею­щая только два значения; 0 и 1 (рис. 12.6, а).

Рис. 12.6. Интегральная (а) и дифференциальиая (б) функции распреде­ления

времени пребывания в проточном реакторе идеального вытеснения

Для получения дифференциальной функции распределения нужно продифференцировать F(τ). Производная в точке разрыва (скачка) функции является особой функцией, называемой дельта- функцией Дирака , которую изучают в специальных разделах математики (рис. 12.6, б). Таким образом, используя дельта функцию можно записать

δ -функция обладает особыми свойствами. Функция равна нулю при всех значениях и . При функция = δ (0) = ∞.

δ -функция Дирака относится к классу обобщенных функций, изучаемых н специальных разделах математики.

Кроме того, функция должна удовлетворять условию

(12.12)

Так как отрицательные значения τ не имеют физического смысла, то нижний предел интегрирования в уравнении (12.12), сле­дует заменить на τ = 0. Тогда полученное уравнение

совпадает с одним из свойств дифференциальной функции рас­пределения [см. уравнение (12.1)].

Можно представить график функции, похожей на (рис. 12.7). Чем более узкой будет полоска между левой и правой ветвями, тем выше должна быть эта полоска, чтобы ее площадь (т. е. интеграл) сохраняла заданное значение, равное 1. Такой вид, в частности, будет иметь дифференциальная функция распределения времени пребывания для реального трубчатого реактора, гидродинамиче­ский режим в котором приближается к идеальному вытеснению.

Рис. 12.7. Функция, приближающаяся по свойствам к δ -функции

Конечно, δ -функция является определенной идеализацией, как, впрочем, идеализацией является и режим полного вытесне­ния, для описания которого она может быть применена.

Ячеечная модель (каскад реакторов идеального смешения)

Определить вид функций распределения для каскада реакторов идеального смешения можно, воспользовавшись аналогией между функциями распределения и кривыми отклика. Кстати, таким же методом можно получить вид функции распределения времени пребывания для единичного реактора идеального смешения.

Функция F(τ) соответствует зависимости Ĉ(τ) = с_и(τ)/с_и,0 получаемой как выходной сигнал на ступенчатый ввод индикатора. Предположим, что в поток, входящий в первый реактор каскада, начиная с момента времени τ₀, вводится индикатор с постоянной концентрацией с_и,0. Условия в реакционной системе после ввода индикатора будут нестационарными. Для описания системы можно составить уравнение материального баланса по индикатору с учетом того, что он не расходуется на химическую реакцию. Для N-й секции каскада количество индикатора, входящего в эту секцию за время dτ, определяется как vc_и,N-1dτ = d(V_Nс_и) = V_Ndс_и, так как V_N = const.

Уравнение материального баланса будет иметь вид

(12.13)

Если объемы всех секций каскада одинаковы, то среднее время пребывания в каскаде из N секций

,

а соответственно для N-й секции каскада

(12.14)

С учетом формулы (12.14) уравнение (12.13) можно представить в виде

Решая это уравнение сначала для первой секции каскада при начальном условии c_и = 0, если τ = 0, а затем для каждой последуюшей секции, можно получить зависимость с_и(τ), а следователь­но, и вид интегральной функции распределения как ряд

(12.15)

где

На рис. 12.8 приведены интегральные функции распределения для каскада реакторов идеального смешения из N одинаковых секций (ячеечной модели проточного реактора с параметром N) для различных значений N.

Рис. 12.8. Интегральные функции рас­пределения времени пребывания

для ячеечной модели при различных зна­чениях N:

1 – N = 1; 2 – N = 2; 3 – N = 20; 4 – N = ∞

Дифференцированием функции F(τ) можно получить диффе­ренциальную функцию распределения (рис. 12.9)

(12.16)

Рис. 12.9. Дифференциальные функции распределения времени пребыва­ния

для ячеечной модели при различных значениях N:

1 – N = 1; 2 – N = 2; 3 – N = 6; 4 – N = ∞

При рассмотрении ячеечной модели было указано, что про­точные реакторы идеального смешения и идеального вытеснения могут быть описаны этой моделью. Действительно, при N = 1 уравнение (12.16) переходит в уравнение (12.11) для реактора идеального смешения, а при N → ∞ совпадает с функцией распределения реактора идеального вытес­нения.

Таким образом, если экспериментально найдена кривая откли­ка для реактора с реальным гидродинамическим режимом, то, со­поставив ее с расчетными кривыми для ячеечной модели, можно определить параметр модели N.

Следует иметь в виду, что при использовании ячеечной модели для расчетов реальных химических реакторов необходимо, чтобы определение параметра N по кривой отклика проводилось в аппа­рате, подобном по гидродинамическим условиям рассчитываемо­му реактору или непосредственно в изучаемом реакторе.