Читайте также:
|
Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых 
и 
выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
37. точки экстремума
Точку 
называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают 
.
Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают 
.
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где 
- достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.
38. Необходимое условие экстремума
Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x1, x2, …, xn) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.
Доказательство для функции двух переменных приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 160).
Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.
В стационарной точке (x0, y0) функции f(x, y) существуют частные производные f'x, f'y и f'x(x0, y0) = 0, f'y(x0, y0) = 0
39. достаточное условие экстремума
| Достаточное условие экстремума функции |
1) Первое достаточное условие:
Если:
а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки 
такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.
б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом 
Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
Если функция g(x) обладает второй производной 
причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если 
, то точка является максимумом; если 
, то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка экстремум функции: 
у функции точка максимума, 
у функции точка минимума.
б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет.
40. наибольшее наименьшее значение функции на отрезке
1. Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 
, то функция 
возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции 
, то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции.
В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-».
В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».
6. Находим значение функции в концах отрезка,
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
41. выпуклая и вогнутая функции
Определение 7.5 Функция 
называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале 
, если график функции 
идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика 
и 
при 
.
Пусть 
. Тогда любую точку отрезка 
можно задать как 
, 
, а любую точку хорды -- как 
. Выражение 
задаёт линейную функцию переменного 
, график которой на отрезке совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
| (7.4) |
при всех .
Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что
| (7.5) |
при всех .
Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций
Легко видеть, что функция вогнута на интервале 
в том и только том случае, когда функция 
выпукла на .
42. иследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.
Пусть функция 
дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:
– если вторая производная 
на интервале, то график функции 
является выпуклым на данном интервале;
– если вторая производная 
на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале.
На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость),
а «+» – «даёт такую возможность» (вогнутость).
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |