Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Закон распределения дискретной случайной величины.

Читайте также:
  1. b) соблюдение частными военными и охранными компаниями и их сотрудниками национальных законов стран происхождения, транзита и осуществления деятельности;
  2. B.Подзаконы
  3. E) законы, указы, имеющие силу закона, указы, распоряжения.
  4. E) законы, указы, имеющий силу закона, указы, распоряжения.
  5. E) экономические законы и развитие экономических систем
  6. E. закономерности психического развития, протекающего в неблагоприятных условиях, патогенная сила которых превышает компенсаторные возможности индивида
  7. Gl] Тема 9.Законность и правопорядок. Мировой правопорядок
  8. I. Понятие законности. Соотношение законности, права и власти.
  9. I. Понятие законности. Соотношение законности, права и власти.
  10. I. Поняття зворотної дії в часі закону про кримінальну відповідальність.

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа - вероятностями этих значений (). Таблица называется законом распределения дискретной случайной величины . Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины . Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли: то говорят, что случайная величина имеет биномиальный закон распределения:

 

18.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Вероятностный смысл. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M (X) = x 1 p 1+ x 2 p 2+...+ xn pn. Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M (X). Однако эту характеристику можно оценить. В качестве оценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M (X) ≈ X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Вероятностный смысл математического ожидания: Математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

, где: mk– частота наблюдений, Wk– относительная частота. MX=np.

 

19. Св-ва мат.ожидания. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M (C) = C.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX) = CM (X).
3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M (X + Y + Z) = M (X)+ M (Y)+ M (Z).
4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M (XYZ) = M (X) M (Y) M (Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.

 

20.Дисперсия.Ее св-ва. Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины. Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением или стандартным разбросом.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание M(x), то дисперсией случайной величины x называется величина D(x) = M(x - M(x))2.

Смысл: дисперсия характеризует разброс рассеяния случайной величины вокруг материального ожидания.

DX=(X1-MX)^2*P1+(X2-MX)^2*P2+…+(Xn-MX)^2*Pn

Рабочая формула для вычисления дисперсии:

Теорема: Дисперсия равна разности между мат. Ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания.

DX=M(X)^2-(MX)^2

Доказательство: DX=M(X-MX)^2=M(X^2-2X*MX+(MX)^2)=M(X^2)-2MX*MX+(MX)^2=M(X^2)-(MX)^2 ч.т.д.

На практике дисперсии неудобны, т.к. её размерность равна квадрату размерности случайной величины Х. Чтобы избавиться от этого недостатка извлекают квадратный корень из дисперсии и выводят новую числовую характеристику: среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Свойства Дисперсии:

1. Dx>=0

2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии, возводя её в квадрат D(CX)=C^2*DX

3. Если X и Y независимы, то дисперсия суммы (разности) случайной величины равна сумме их дисперсий D(X+-Y)=DX+DY

Доказательство: DX= M(X)^2-(MX)^2;

DX=M(X+Y)^2-[M(X+Y)]^2=M(X^2+2XY+Y^2)-[(MX)^2-2MX*MY+(MY)^2]=M(X^2)*2MXY+M(Y^2)-(MX)^2-2MX*MY-(MY)^2=[M(X^2)-(MX)^2]+[M(Y^2)-(MY)^2]=DX+DY ч.т.д.

4. DC=0

5. D(X+C)=DX

 

21.Начальные и центр моменты. Асимметрия и эксцесс. В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины х

называется математическое ожидание k -й степени случайной величины х .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины  называется величина  k, определяемая формулой .

Между начальным и центральным моментом существует связь:

K=2; m2=M(X-Mx)^2=DX=M(^2)-(MX)^2=

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

2 = 2 - 12,  3 =  3 - 3 2 1 + 2 13. На практике используются центральные и начальные моменты не выше 4 порядка.

Асимметрией случ. Вел. Х называется отношение центрального момента 3 порядка к кубу среднего квадратичного отклонения случайной величины.

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой , где  3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение. Показатель безразмерный, он характеризует Степень не симметричности кривой кривой функции плотности исследуемой сл. Вел. Эксцесс. Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины , от нормального распределения, является эксцесс. Эксцесс  случайной величины  определяется равенством .

Характеризует степень островершинности плоской кривой по сравнению с нормальной.

У нормального распределения, естественно,  = 0. Если  () > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же () < 0, то “заостренность” графика p (x) меньше, чем у нормального распределения.

 

 

22.Матиматическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического независимых и одинаково распределённых случайных величин. случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: .

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

M (X1 + X2) = M (X1) + M (X2), где X1, X2 - независимые случайные величины;

D (X1 + X2) = D (X1) + D (X2), где X1, X2 - независимые случайные величины.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

 

23.Биномиальное распределение и его числ.хар-ки. Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна р. Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть Построим случайную величину Y: . Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: . Её функция плотности вероятности задаётся формулой: где — биномиальный коэффициент. По определению, математическое ожидание случайной величины вычисляется по формуле: где x i - значения случайной величины ,p i - вероятности событий . Для закона распределения случайной величины (1) мы получим: Поскольку ,то Окончательно: Для дисперсии, по определению, имеем: . С учетом (1) получим:

 

24.Распределение Пуассона. Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения: (1), где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения: Pm = Cnm · pm · (1 – p) n m , может быть написан, если положить p = a / n, в виде: или . Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n. Произведение весьма близко к единице. Это же относится к величине . Величина очень близка к e a . Отсюда получаем формулу (1).

25. Функция распределения и её свойства.

Функцией распределения вероятностей F(x), называется вероятность того, что сл. Вел. Х примет своё значение меньше числа х. F(x)=P(X<x).

Геометрический смысл этого определения: Пусть х- число, зафиксируем его в виде точки. Тогда значение функции в указанной точке есть вероятность того, что сл.вел. Х примет своё значение левее отмеченной точки на оси.

Свойства F(x):

1) 0<=F(x)<=1

2) F(x) неубывающая. Для каждого х1 и х2: х2>x1, следовательно F(x2)>=F(x1). Доказательство (X<x2)=(X<x1)+(x1<=X<=x2). События несовместны, применим теорему сложения вероятностей для несовместных событий. P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1<=X<=x2). F(x2)=F(x1)+ P(x1<=X<=x2) [>=0]. Отбросим неотрицательное слагаемое, тогда правая часть уменьшается, значит F(x2)>=F(x1) ч.т.д. т.к. точки х1 и х2 любые. Следствие: вероятность того, что сл.вел. Х примет своё значение [a;b) равна приращению функции распределения на этом промежутке. P(a<=X<=b)=F(b)-F(a). Непрерывная сл.вел- если её функция распределения непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках, за исключением, быть может, конечного числа точек.

3) Если Х непрерывная сл.вел. то вероятность того, что она примет конкретное значение х0=0, Р(Х=х0)=0. Доказательство: [x0;x0+Dx)®P(x0<=x<x0+Dx)=DF(x0). Dx мало. Следствие: Если Х непрерывная сл.вел. то P(a<=X<=b)=P[(a<=X<b)È(x=b)]= P(a<=X<b)+P(X=b)= P(a<=X<b) ч.т.д. т.к. события несовместны.

4) XÎ[a;b], тогда справедливо равенство: F(x)=0; x<=a. F(x)=1; x>=b. Если ХÎ(-∞;+∞), то F(x)=0. F(x)=1. График ХÎ(-∞;+∞),

XÎ[a;b]

26. Функция плотности вероятности и её свойства.

Функцией плотности вероятностей называется производная от функции распределения.

F(x)=F`(x). Свойства:

1) f(x)>=0

2) Теорема: вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет своё значение в промежутке [a;b] равна определённому интегралу от функции плотности, вычисленному по этому промежутку. P(a<X<b)= f(x)dx. Геометрический смысл: Вероятность того, что случ. Вел. Примет свои значения в указанном промежутке численно равна заштрихованной площади трапеции.

3) f(x)dx=1. Площадь под кривой всегда равна 1ед^2.

4) F(x)= f(t)dt. Значение функции F в отмеченной точке х численно равна заштрихованной площади криволинейной трапеции.

27.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [ a,b ]. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл: . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: . При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: . Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии: . Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум: Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины: . Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 39 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав