Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Соответствия и функции

Соответствием называется тройка, первая компонента которой есть подмножество пря-мого произведения множеств, являю­щихся ее второй и третьей компонентами. Обратим внима-ние на то, что все объекты, участвующие в этом определении – тройка, компонента, подмно-жество, прямое произведение, множество – ранее уже были введены и объяснены. В то же вре-мя приведённое определение не включает в себя понятий зависимой и независимой перемен-ной, закона, правила (по которым находится значение зависимой переменной, соответствующее данному значению независимой), и других не очень ясных понятий.

Соответствия будут обозначаться прописными греческими буквами. Таким образом, если Г = á G, X, Y ñ – соответствие, то, в согласии с определением, X, Y – мно­жества, a G X × Y. По построению, G является графиком, поскольку G – подмножество прямого произведения двух множеств, которое по определению является множеством пар (см. раздел 1.2). Множество G называется гра­фиком соответствия Г. Множества X и Y носят название области отправле-ния и области прибытия соответствия Г. Множество ПР₁ G называется областью определе-ния соответствия Г _, a множество ПР₂ G – областью значений соответствия Г (определения проекции см. в разделе 1.3).

Если пара á x, y ñ G, тo говорят, что элемент у соответствует элементу x в (или при) соот-ветствии Г. Если x ПР₁ G, тo говорят, что соответствие Г определено на элементе x. Элемент у называется также образом элемента x в (или при) соответствии Г.

Инверсией соответствия Г = á G, X, Y ñ называется и через Г ⁻¹ обо­значается соответствие á G ⁻¹, Y, X ñ, где G ⁻¹ – инверсия графи­ка G (см. начало раздела 4.1). Ясно, что (Г ⁻¹)⁻¹ = Г. Если Г = á G, X, Y ñ и Δ =á H, U, V ñ – соответствия, то соот­ветствие Σ = á G ○ H, X, V ñ называется их ком-позицией и обо­значается через Г ○ Δ. Из ассоциативности композиции графиков сле­дует ассоци-ативность композиции соответствий.

Сужением соответствия Г = á G, X, Y ñ на множество А называется и через Г_А обозна­чается соответствие á G∩ (А ´ Y), X, Y ñ. Обратим внимание, что области отправления и прибытия соответствия не меняются. Соответствие Δ =á H, Z, U ñ называется продолжением соответст-вия Г = á G, X, Y ñ, если G Í H, X Í Z, Y Í U.

Введём ещё одно понятие, связанное с графиками и соответствиями. Пусть G – произволь-ный график. Введём в рассмотрение соответствие графика G: Г_G = á G, ПР₁ G, ПР₂ G ñ (напом-ним, что через ПР₁ G и ПР₂ G обозначены проекции графика G). У соответствия Г_G область отправления совпадает с областью определения, а область прибытия – с областью значений. Бо-лее того, имеет место простое

Утверждение 3. Любое соответствие с графиком G является продолжением соответствия Г_G.

Соответствие называется функциональным, или функцией, если его график функциона-лен; инъективным, если его гра­фик инъективен; всюду определенным, если его область оп­ределения совпадает с областью отправления, и сюръективным, если его область прибытия совпадает с областью значений.

Соответствие, обладающее четырьмя перечисленными свойст­вами, называется взаимно-однозначным, или биективным, или биекцией.

Функция с областью отправления X и областью прибытия Y называется функцией типа X → Y.