Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Высказывательные формы

Высказывательные формы были определены в предыдущем пункте как формы, которые обозначают высказывания, т.е. являются высказываниями. Например, выражение

A (x > 3)

естественно считать двухместной высказывательной формой с высказывательной переменной A и числовой переменной x. Для случаев (которые нельзя априори исключать), когда на некото-рых наборах значений переменных высказывательная форма неопределенна, доопределим её логическим значением «Ложь» (т.е. значением F из двухэлементногомножества { T, F }). Поэто-му далее рассматриваются только всюду определённые высказывательные формы. Введённые в разделе 2.1 главы 1 операции над высказываниями очевидным образом можно рассматривать и как операции над высказывательными фор­мами. Для любых высказывательных форм и и без специ­альных пояснений ясен смысл форм: Ø , , , → , , Å .

Пусть (x ₁, …, x_s) – s -местная (s ≥l) высказыватель­ная форма, где x ₁, …, x_s – переменные формы , выписанные в каком-нибудь порядке. Пусть областью определения перемен­ной x_i бу-дет множество М_i (i = 1, …, s). Тогда областью ис­тинности высказывательной формы назы-

вается и как

или

(x 1, …, xs)

обозначается множество тех кортежей á a 1, a 2,..., as ñ, для ко-

торых (a ₁, …, a_s) истинно.

Понятие области истинности позволяет связать операции над множествами с операциями над высказывательными фор­мами. Так, очевидно, при s ≥ 1

(x 1, …, xs) (x 1, …, xs)

=

(x 1, …, xs)

(x 1, …, xs),

(x 1, …, xs) (x 1, …, xs)

=

(x 1, …, xs)

(x 1, …, xs).

Если М_i – обласги значений переменных x_i (i = 1, …, s), то

Ø (x 1, …, xs)

=

(x 1, …, xs)).

Задание 2. Для данных высказывательных форм найти области истинности.

1. (x, y): x ² + y ² ≥ 2 xy

2. (x, y): x + y ≥ 2 xy

3. (x, n): xⁿ > 1 + n (x – 1)

4. (x, y) → (x, y)

5. (x, n): x < n

6. (x, n) (x, n) ■

Вернёмся к вопросу о способах задания множеств, упомянутому в разделе 1 главы 2. Зада-ние множества описанием характеристических свойств его элементов используется очень часто. В главе 3 в примерах 8, 9, 15 и 16 именно так задавались бесконечные графики. Теперь можно дать более детальное описание этого способа задания множеств. Именно, во многих случаях описываемое множество естественно совпадают с областью истинности некоторой высказыва-тельной формы. В примере 8 главы 3 рассматривалось множество М точек á x, y ñ на плоскости, удовлетворяющих условию x ² + y ²= 1 (т.е. М – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат). Определим высказывательную форму (x, y): x ² + y ² = 1. Понятно, что рас-сматриваемое множество М совпадает с областью истинности данной высказывательной фор-мы. В примере 1-5 настоящей главы высказывательная форма (x): x > 3 определяет бесконеч-ное множество чисел, бóльших 3.

Вообще, в тех случаях, когда интересующее нас множество М совпадает с областью ис-тинности некоторой высказывательной формы , это множество М именно так и может быть задано. Для этого используется стандартное обозначение

М = { x | (x)}, (1)

которое читается так: М – это множество элементов x, для которых высказывательная форма истинна. В формуле (1) x = á x ₁, x ₂,..., x_s ñ – это набор переменных данной высказывательной фор-мы. Более сложные вопросы проверки истинности произвольной высказывательной формы, приводящие, в частности, к формальному определению одного важного класса высказыватель-ных форм – предикатов – здесь не рассматриваются.

Задание 3. Нарисовать на координатной плоскости область истинности высказывательной формы (x, y) с числовыми переменными x, y, если

1. (x, y): y = x ².

2. (x, y): 2 x + 3 y – 1 > 0.

3. (x, y): sin(x + y) = 0.

4. (x, y): y = x ² + 1 ∕ x.

5. (x, y): y < x ² + 1 ∕ x.

6. (x, y): y = .

7. (x, y): y = ■