Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вопрос24.Экстремум функции одной переменной.

Читайте также:
  1. B) Соединение атома водорода одной молекулы с сильно электроотрицательным элементом другой молекулы
  2. B.1 Арифметические функции
  3. B.2 Тригонометрические функции
  4. C. Движение информации и ее трансформация от исходной в командную
  5. Cудeбныe функции князя и вeчe
  6. I. Дифференциал функции.
  7. I. Правосознание: понятие, структура, функции и виды.
  8. I. Сущность, формы, функции исторического знания.
  9. II. Правовая культура: понятие, функции и виды.
  10. II. Приоритеты международной деятельности РСМ
Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Необходимое условие:Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке

[a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке. Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум),если эту точку можно окружить такой окрестностью (x0- ,x0+ ),содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство. f(x) < f(x0)(или f(x)>f(x0))

Иными словами, точка x0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума)предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0. Если существует такая окрестность, в пределах которой (при

x=x0) выполняется строгое неравенство f(x)<f(x0)(или f(x)>f(x0) то говорят, что функция имеет в точке x0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный. Если функция имеет максимумы в точках x0 и x1 , то, применяя к

промежутку [x0,x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего

своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке

x2 между x0 и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя

минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на

практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное

число максимумов и минимумов, они просто чередуются. Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются

локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0.

Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений

относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами

функции на отрезке.

Достаточное услоие.Первый признак: Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х0(по крайней мере, для х=х0) существует конечная производная и как

слева от х0 , так и справа от х0 (в отдельности) сохраняет

определенный знак. Тогда возможны следующие три случая: I f’(x)>0 при х<х0 и f’(x)<0 при х>х0, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус. В этом случае,в промежутке [х0- ,х0] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х0,х0+

] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х0-,х0+ ] , т. е. в точке х0 функция имеет собственный максимум.

II f’(x)<0 при х<х0 и f’(x)>0 при х>х0 , т. е. производная

f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом

случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный

минимум.

III f’(x)>0 как при х<х0 так и при х>х0 либо же f’(x) и слева и

справа от х0 , т. е. при переходе через х0 , не меняет знака. Тогда

функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой

юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x0),

а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x0) так что в точке х0 никакого

экстремума нет. Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного”

значения х0 : подставляя в производную f’(x) сначала х<х0 , а затем

х>х0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа

от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то

налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ;

если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Достаточное условие. Второй признак:Нередко более удобным на практике оказывается другой признаксуществования экстремума, основанный на выяснении знака второй

производной в стационарной точке.Справедлива следующая теорема.Теорема 3.1:Если х0 есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х0 функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х0 минимум.Доказательство: По определению второй производной

(f’(x)-f’(x0)

f’’(x0)=lim-------------

x-x0 По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому f’(x)f’’=lim

----------x-x0

Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции

найдётся такой интервал (x0-,x0+), в котором переменная величина

f’(x)/(x-x0) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется

неравенство f’(x)

----------<0 (x0- <x<x0+ )

x-x0 Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х0<0, или х>х0, и f’(x)<0,если х-х0>0, или х>х0. На оснавании первого достаточного признака

существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f(x) имеет

максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает

минимум функции f(x).ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для

дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0

находим стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0

подвергаем испытанию:

- если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;

- если f’’(x)<0, то х0 – точка максимума функции.

Использование высших производных.

В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а

может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности

U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно

(n>1). Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в

х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий

локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум,

если f (n)(x0). Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при

доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3) Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак

fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе

через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей

правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при

n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой

окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства

(3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :

- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в

точке х0 – локальный минимум;

- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0) ,т. е. в точке х0 локальный

минимум. ч.т.д.

Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь



Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 12 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2022 год. (0.023 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав