Читайте также:
|
бесконечно малыми.
Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство
ïf(x)ï>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < ïx - aï < D
Записывается 
.
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:
а если заменить на f(x)<M, то:
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:
 |
a x a x a x
Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если 
, где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥) и не обращается в ноль, то
Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1) a ~ a, 
2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g, 
3) Если a ~ b, то b ~ a, 
4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и 
, то и 
или 
.
Следствие: а) если a ~ a1 и , то и 
б) если b ~ b1 и , то 
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Пример. Найти предел 
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:
Пример. Найти предел 
.
Так как 1 – cosx = 
при х®0, то 
.
Пример. Найти предел 
Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством 
.
Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.
Некоторые замечательные пределы.
, где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,
Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.
Итого: 
Первый замечательный предел. 
Второй замечательный предел. 
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел 
.
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;
x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2 = (6 – 2)/2 = 2; x2 = (8 – 4)/2 = 2;
Тогда 
Пример. Найти предел.
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: 
=
= 
.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел 
.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1
x3 – x2 x2 – 5x + 6
- 5x2 + 11x
- 5x2 + 5x
6x - 6
6x - 6 0
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Тогда 
- не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
у
-4 -1 0 1 х
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
 |
у
-p -p/2 0 1 x
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 35 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |