Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры использования. Заменяя эквивалентной величиной , получаем

· Найти

Заменяя эквивалентной величиной , получаем

· Найти

Так как при получим

· Вычислить .

Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

ТЕОРЕМА. Бесконечно малая последовательность ограничена.

► Пусть {х_п} — бесконечно малая последовательность. Тогда, например, неравенству \х_п\ > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее членов. Сумму модулей таких членов обозначим через с₀. При этом считаем, что с₀ = 0, если таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена х_п имеем неравенство |х_й| < с = с₀ + 1. Следовательно, бесконечно малая последователь­ность {х_п} ограничена. <

ТЕОРЕМА. Если {х_п} — бесконечно большая последователь­ность и х_п 5^й 0, то {1/х„} — бесконечно малая последователь­ность, и наоборот, если {х_п} — бесконечно малая последова­тельность и х_п ^ 0, то {1/х„} — бесконечно большая последо­вательность.

► Ограничимся рассмотрением только прямого утверждения. В этом случае при любом е > 0 неравенство |1/х„| > е равносильно неравенству |х„| < с = 1/е, которому, в свою очередь, удовлетво­ряет лишь конечное множество членов, поскольку {х_п} — беско­нечно большая последовательность. Это значит, что {1/х„} — бес­конечно малая последовательность. -4

ТЕОРЕМА. Если {х_п} — бесконечно малая последователь­ность, то {\х_п\} — бесконечно малая последовательность, и наоборот.

2. Сумма (разность) двух бесконечно малых последователь­ностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 1: произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Теорема 2: частное от деления ограниченной функции f(x) на бесконечно большую g(x), т.е. f(x)/g(x), есть бесконечно малая.

Теорема 3: частное от деления функции f(x), модуль которой ограничен снизу положительным числом, на бесконечно малую есть бесконечно большая.