Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задачи из базы ЕГЭ

Задание B10 (№ 323007) На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу.

Задание B10 (№ 322529) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Задание B10 (№ 320573) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Определение. Пусть A и X – зависимые события. Число, выражающее вероятность события A при условии, что произошло событие X, называется условной вероятностью события A относительно события X и обозначается PX(A).

Теорема. Вероятность пересечения двух зависимых событий A и X равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило, то есть справедлива формула P(AÇX)=P(X)·P_X(A)

Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов P(A) = 5/35 = 1/7.

Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения P_A(B)=4/34=2/17.

Искомая вероятность будет P(AB)=P(A) P_A(B)=1/72/17=2/119.

Ответ. 2/119.

1. Задание B10 (№ 321491) В классе 33 учащихся, среди них два друга — Михаил и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Вадим окажутся в одной группе.

Решение. Согласно вопросу задачи, нас интересует распределение двух парней по трём группам (для удобства пронумеруем эти группы: группа 1, группа 2 и группа 3). Поэтому возможными исходами рассматриваемого опыта являются:

U₁={Михаил в первой группе, Вадим во второй группе}=(М1, В2),

U₂={Михаил в первой группе, Вадим в третьей группе}=(М1, В3),

U₃={Михаил в первой группе, Вадим в первой группе}=(М1, В1),

U₄={Михаил во второй группе, Вадим в первой группе}=(М2, В1),

U₅={Михаил во второй группе, Вадим во второй группе}=(М2, В2),

U₆={Михаил во второй группе, Вадим в третьей группе}=(М2, В3),

U₇={Михаил в третьей группе, Вадим в первой группе}=(М3, В1),

U₈={Михаил в третьей группе, Вадим во второй группе}=(М3, В2),

U₉={Михаил в третьей группе, Вадим в третьей группе}=(М3, В3),

Таким образом, множество U всех исходов рассматриваемого опыта состоит из девяти элементов U= {U₁, U₂, U₃ ,… U₇, U₉}, причём событию A – «Михаил и Вадим оказались в одной группе» - благоприятствуют лишь три исхода - U₃, U₅ и U₉. Найдём вероятность каждого из этих исходов. Так как по условию задачи класс из 33 человек случайным образом делится на три равных группы, то в каждой такой группе окажется по 11 учащихся этого класса. Исключительно ради удобства решения задачи представим себе 33 стула, расположенных в один ряд, на сидушках которых написаны цифры: на первых 11 стульях написана цифра 1, на следующих 11 стульях – цифра 2 и на последних одиннадцати стульях – цифра 3. Вероятность того, что Михаилу достанется стул с цифрой 1, равна (11 стульев с цифрой 1 из общего количества стульев). После того как, Михаил сел на стул с цифрой 1, остаётся лишь 32 стула, среди которых лишь 10 стульев с цифрой 1, поэтому, вероятность того, что Вадиму достанется стул с той же цифрой 1 равна. Следовательно, вероятность исхода U₃={Михаил в первой группе, Вадим в первой группе}=(М1, В1) равна произведению и равна =. Рассуждая аналогичным образом, находим вероятности исходов U₅ и U₉. Имеем, P(U₅)=P(U₉)=P(U₃)=.

Таким образом, P(A)=P(U₃)+P(U₅)+P(U₉)=.

Ответ. 0,3125.

Замечание. Многие учащиеся, составив множество U возможных исходов рассматриваемого опыта, искомую вероятность находят как частное от деления числа исходов U₃, U₅ и U₉, благоприятствующих событию A к числу всевозможных исходов U₁, U₂, U₃ ,… U₇, U₉. При таком способе решения получается: P(A)=. Ошибочность такого решения заключается в том, что исходы рассматриваемого опыта не являются равновероятными. Действительно, P(U₁)=, а P(U₃)=.

Теорема (о полной вероятности). Пусть вероятностное пространство U представлено в виде объединения попарно несовместных событий X₁, X₂,…, X_n:

U= X₁È X₂È…È X_n,

Где X_iÇX_j=Æ при i¹j. Тогда для любого события A верно равенство