Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В).

В тех случаях, когда вероятность события А рассматривается при условии, что произошло два других события (В, С), используется условная вероятность относительно произведения событий (В, С) Р (А/В).

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и РA (В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) РA (В). (*)

Доказательство.

З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим

Р (ВА) = Р (В) РB (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, Р(АВ) = Р (В) РB (А). (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства Р (А) РA (В) = Р (В) РB (А). (***) С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где является вероятностью события An, вычисленной в предположении, что события А1,А2,..., Аn — 1 наступили. В частности, для трех событий

Р (AВС) = Р (А) РA (В) РAB (С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.