Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Случайные события и действия над ними. Виды событий

Основные понятия и формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

P_n = n!,

где n! = 1 * 2 * 3... n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A^m_n = n (n - 1)(n - 2)... (n - m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С ^m_n = n! / (m! (n - m)!).

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

A^m_n = P_mC ^m_n.

З а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

P_n (n₁, n₂,...) = n! / (n₁! n₂!...),

где n₁ + n₂ +... = n.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

П р а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Случайные события и действия над ними. Виды событий

Под испытанием будем понимать реализацию комплекса условий. Эту реализацию называют также опытом. Классическим примером испытания в теории вероятностей является извлечение шара из урны, содержащей большое число шаров.

Явление, возникшее в результате испытания, называется исходом испытания, или событием. События обозначаются буквами .

События бывают трех типов:

Одни из них неизбежно возникают при каждом испытании данного вида. Это достоверные события .

Другие, наоборот, никогда не появляются. Это невозможные
события .

События третьего типа характеризуются тем, что они в данном испытании могут произойти, а могут и не произойти. В каких случаях они произойдут, а в каких нет – заранее сказать нельзя. Такие события называются случайными.

События бывают простые и сложные. Простое событие не разлагается на другие.

Сложные события представляют собой комбинации простых событий. Если наступление события обязательно влечет за собой наступление события , то событие является сложным.

События бывают совместными и несовместными. Два или более событий называются совместными, если они могут одновременно наступить при осуществлении одного испытания. Иными словами, это события, которые содержат одни и те же простые события. Например, событие состоит из событий ;событие – из , то события и будут совместными, поскольку в каждое из них входит событие .

Несовместными называют такие события, которые не могут наступить одновременно при одном опыте, т.е. они не содержат ни одного общего события. Если событие состоит из событий ; а событие – из таких, что ни одно из событий в не совпадает с событиями из , то события и – несовместные.

Назовем суммой событий и такое событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий ( или ). Определение суммы распространяется на любое число слагаемых.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и будем называть произведением событий и и обозначать или .

Событие, которое наступает тогда и только тогда, когда событие не наступает называется противоположным событию и обозначается .Из определения следует, что два события противоположны тогда и только тогда, когда они несовместимы: сумма их образует вcе выборочное пространство, т. е.

.

Разностью двух событий (или ) называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и не наступает

Графическая интерпретация соотношений между событиями может

быть сделана с помощью диаграммы Эйлера – Венна:

Полной группой событий называется совокупность событий такая, что в результате опыта наступит одно и только одно из этих событий.