Читайте также:
|
Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.
Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
Замечание 2. Пусть { xn } - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [ a, b ]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности 
также находится на сегменте [ a, b ].
Действительно, так как 
, то в силу следствия 2 выполняются неравенства a ≤ c ≤ b. Это и означает, что c находится на сегменте [ a, b ].
Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3,..., n, 1/(n +1),... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3,..., 1/ n,... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2,..., n,... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.
7. Фундаментальная последовательность и ее свойства. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Примеры применения критерия Коши.
8. Два определения предела (предельного значения) функции: по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Единственность предела функции в данной точке. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.
9. Первый и второй замечательные пределы. Следствия из них. Примеры использования.
10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы.
11. Предельный переход в функциональных неравенствах.
12. Непрерывность функции в точке. Определения непрерывности по Гейне и по Коши. Непрерывность функции в точке слева и справа. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака.
13. Элементарные функции. Непрерывность простейших элементарных функций. Примеры.
14. Арифметические операции над непрерывными функциями. Суперпозиция функций. Теорема о непрерывности сложной функции.
15. Точки разрыва функции. Их классификация. Примеры.
16. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о прохождении функции через нуль и через промежуточное значение.
17. Теоремы об ограниченности функции, непрерывной на отрезке (1-я теорема Вейерштрасса) и о достижении такой функцией точных верхней и нижней граней ее значений (2-я теорема Вейерштрасса).
18. Производства функции. Физический и геометрический смысл производной функции. Правая и левая производные функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке.
19. Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Производные суммы, разности, произведения и частного двух функций.
20. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций. Примеры.
21. Теорема о нуле производной (теорема Ролля).
22. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
23. Теорема Коши)обобщенная формула конечных приращений).
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 37 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |