Читайте также:
|
Экзаменационные вопросы.
Блок I (определения, понятия, формулировки предложений утверждений).
1. Определения первообразной и неопределенного интеграла. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла. Табличные интегралы.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Вид первообразных простейших дробей вида 
, 
.
4. Определение криволинейной трапеции.
5. Определение определенного интеграла. Его геометрический смысл.
6. Вид интегральной (нижней, верхней) суммы Дарбу. Их геометрический смысл.
7. Критерий интегрируемости по Дарбу (по Риману).
8. Интеграл от нечетной, четной функции на симметричном отрезке.
9. Определение простой плоской (незамкнутой, замкнутой) кривой.
10. Определение длины дуги. Определение спрямляемой кривой.
11. Формулы вычисления длины дуги кривой в трех формах.
12. Определения e - окрестности точки, граничной точки и границы множества плоской области (фигуры).
13. Определение внутренней (внешней) точки множества плоской области.
14. Определения плоской и квадрируемой областей (фигур). Свойство аддитивности площади.
15. Формулы вычисления площади плоской фигуры в трех формах.
16. Определения тела и кубируемой области. Свойство аддитивности объема.
17. Определение несобственного интеграла I рода (три вида).
18. Определение несобственного интеграла II рода (три вида).
19. Теорема об интегрируемости непрерывной функции.
20. Теорема об интегрируемости монотонной функции.
Блок II (теоремы, составляющие ядро курса, с доказательствами).
1. Основные методы интегрирования. Метод замены (подстановки). Метод интегрирования по частям.
2. Метод неопределенных коэффициентов.
3. Интегрирование рациональных функций.
4. Рационализация функций вида 
5. Интегрирование иррациональных функций вида 
6. Интегрирование иррациональных функций вида 
, 
, 
, 
.
7. Алгоритм построения определенного интеграла.
8. Свойство линейности и аддитивности определенного интеграла (св-ва 5,6)
9. Оценка определенного интеграла (свойство 10)
10. Теорема о среднем значении.
11. Формула Ньютона-Лейбница (при каких условиях справедлива эта формула?) (4 раза)
12. Замена переменной в определенном интеграле (почему при замене переменной можно не возвращаться к старой переменной?). Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
13. Формулы вычисления длины кривой: а) заданной параметрически; б) в декартовых координатах; в) в полярных координатах.
14. Формулы вычисления площади плоской фигуры а) в декартовых координатах, б) в полярных координатах.
15. Формула вычисления объема тела через поперечное сечение.
16. Формула вычисления объема тела вращения.
Экзаменационные задачи.
Блок I (задачи на использование формул, таблиц и на применение определений, методов).
1. Вычислите интеграл 
.
2. Вычислите интеграл 
.
3. Вычислите интеграл 
.
4. Вычислите интеграл 
.
5. Вычислите интеграл 
.
6. Вычислите интеграл 
.
7. Вычислите интеграл 
.
8. Вычислите интеграл 
.
9. Вычислите интеграл 
.
10. Вычислите интеграл 
.
11. Вычислите интеграл 
.
12. Вычислите интеграл 
.
13. Вычислите интеграл 
.
14. Вычислите интеграл 
.
15. Вычислите интеграл 
.
16. Вычислите интеграл 
.
17. Вычислите интеграл 
.
18. Вычислите интеграл 
.
19. Вычислите интеграл 
.
20. Вычислите интеграл 
.
21. Вычислите интеграл 
.
22. Вычислите интеграл 
.
23. Вычислите интеграл 
.
24. Вычислите интеграл 
.
25. Вычислите интеграл 
.
26. Вычислите интеграл 
.
27. Вычислите интеграл 
.
28. Вычислите интеграл 
.
29. Вычислите интеграл 
.
30. Вычислите интеграл 
.
31. Вычислите несобственный интеграл 
.
32. Вычислите несобственный интеграл 
.
33. Вычислите несобственный интеграл 
.
34. Вычислите несобственный интеграл 
.
Блок II (задачи теоретического характера).
1. Вычислите 
, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и произведя разбиение промежутка интеграции надлежащем образом.
2. Пусть 
. Чему равно 
?
3. Вычислите 
.
4. Вычислите 
.
5. Вычислите 
.
6. Вычислите 
, если a < 0 < b.
7. Верно ли, что 
?
8. Определите среднее значение функции 
на [0,1].
9. Оцените интеграл 
.
10. Оцените интеграл 
.
11. Оцените интеграл 
.
12. Оцените интеграл 
.
Блок III (задачи прикладного характера).
1. Найдите длину эллипса x=acost, y=bsint.
2. Найдите длину кардиоиды 
.
3. Найдите длину одного витка спирали Архимеда 
при 0 £ j £ 2 p.
4. Вычислите длину астроиды 
(
).
5. Найдите длину дуги 
кривой 
, отсеченной осью Ох.
6. Вычислите длину дуги 
цепной линии, заданной уравнением 
от точки х =0 до точки х= 4.
7. Найдите длину эвольвенты окружности 
.
8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и 
.
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заданного в параметрической форме.
10. Найдите площадь фигуры, заключенной внутри леминскаты Бернулли 
.
11. Найдите площадь фигуры, ограниченной астроидой 
.
12. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью Ох и одной аркой циклоиды 
.
13. Найдите площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда 
.
14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
.
15. Найдите площадь ограниченную линиями 
, 
, 
.
16. Найдите площадь, ограниченную окружностями 
и 
.
17. Вычислите объем пирамиды с высотой H и площадью основания S.
18. Найдите объем тела, ограниченного эллипсоидом.
19. Найдите объем тела, отсекаемого от эллиптического параболоида 
плоскостью z= 5.
20. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох области, ограниченной параболой 
и прямой 
.
21. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией 
вокруг оси Oх (0 < b £ a).
22. Найдите объем тела, ограниченного поверхностью, полученного при вращении вокруг оси Ох линий 
и 
.
23. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси Ох.
24. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy дуги параболы 
, заключенной между точками пересечения ее с прямой y=3a.
25. Найдите площадь поверхности, образованной вращением кривой 
вокруг оси Ох.
26. Вычислите поверхность шара радиуса а при вращении его вокруг оси Ох.
27. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением кривой 
вокруг оси Ох.
28. Вычислить площадь поверхности шарового тела, полученного вращением вокруг оси Ox дуги окружности 
между точками с абсциссами х= -1 и х = 1.
29. Вычислите площадь поверхности образованного вращением части кривой 
отсеченной прямой 
, вокруг оси Oy.
30. Постройте график функции 
.
31. Постройте график функции 
.
32. Постройте график функции 
.
33. Постройте график функции 
.
34. Постройте график функции 
.
35. Постройте график функции 
.
36. Постройте график функции 
.
| 1. Экзаменационные вопросы | 2. Экзаменационные задачи | Сумма баллов | ||
| Блок I | Блок II | Блок I | Блок II | |
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 51 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Экзаменационные задачи. | | | С Кукузовым Амиром Имомовичем, 20.03.1998 г.р. |