Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

В общем виде передаточная функция разомкнутой системы

, (18)

где – общий коэффициент передачи системы; ν – порядок астатизма (равен числу интегрирующих звеньев), - постоянные времени форсирующих звеньев; - постоянные времени инерционных звеньев; - постоянные времени колебательных звеньев; ξ_k – коэффициенты демпфирования; l – число форсирующих звеньев; - число инерционных звеньев; n - число колебательных звеньев.

При подстановке в (18) передаточная функция преобразуется в частотную, являющуюся векторной величиной

, (19)

где - амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы ;

- аргумент , , фазовая частотная функция.

Модули и аргументы частотных передаточных функций системы и звеньев связаны между собой соотношениями

; (20)

, (21)

где - модули частотных передаточных функций звеньев,

- аргументы частотных передаточных функций звеньев.

Логарифмическая амплитудная характеристика определяется по формуле

L(ω) = 20 lg А(ω). ( 22)

Из (20) видно, что

L(ω) = , (23)

где L_i(ω)=20lgA_i(ω).

4.5.1 Построение логарифмических частотных характеристик.

На основании (21) и (23) можно получить следующее правило построения ЛАЧХ и ЛФЧХ систем, передаточные функции которых преобразованы к виду (18): строят логарифмические характеристики звеньев, а затем их геометрически складывают.

Логарифмические частотные характеристики строят в полулогарифмическом масштабе. При постоении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту ω в логарифмическом масштабе, т.е. наносят отметки, соответствующие lg ω. При этом на отметке, соответствующей

lg ω, пишут само значение частоты ω, а не lg ω.

Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты ω в 10 раз, называется декадой. Декада – равномерная единица на оси абсцисс. В начале координат по оси абсцисс откладывается произвольная частота, а не частота, равная нулю, поскольку lg 0 = - ∞.

По оси ординат откладывают значения L(ω) в линейном масштабе с единицей измерения децибел (дБ).

Логарифмическая фазовая частотная характеристика имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в равномерном масштабефазу вугловых градусах или радианах.

Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изменения фазы от частоты можно было сопоставить с изменениями амплитуды.

Для упрощения расчетов монотонная ЛАЧХ аппроксимируется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков с типовыми наклонами: … +40, +20, 0, -20, -40 … дБ/декаду. Такие характеристики назывются асимптотическими.

Частоту , при котрой пересекаются отрезки прямых (асимптоты), называют сопрягающей.

Для построения асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик можно рекомендовать следующий порядок:

а) Определяют передаточную функцию разомкнутой системы путем перемножения передаточных функций звеньев , входящих в замкнутый контур, в виде (18). При этом, если в структурной схеме САР имеется звено второго порядка с передаточной функцией

, (24)

необходимо определить значение ξ и Т_k по формулам

, . (25)

Звено будет колебательным, если 0 < ξ <1, и апериодическим второго порядка, если ξ 1. Для апериодическое звено второго порядка передаточную функцию (24) можно преобразовать к виду

(26)

где . (27)

Таким образом, апериодическое звено можно представить как последовательное соединение двух инерционных звеньев.

б) Определяют частоты сопряжения (частоты излома ЛАЧХ)

.

в) Размечают ось абсцисс (ω) на декады, например, со следующей сеткой частоты: ω = 10^-1, 10⁰, 10¹, 10² 1/с. Соответствующие логарифмы

lgω = -1, 0, 1, 2 Обычно бывает достаточно иметь 3-4 декады. Выбирают те декады, в зону которых попадают частоты сопряжения. При этом расстояние от минимальной частоты сопряжения до начала координат должно быть приблизительно равным длине декады.

г) Размечают ось ординат L(ω) вверх (10, 20, … 60) дБ и вниз от оси абсцисс (-10,-20,… -40) дБ для ЛАЧХ.

д) Размечают ось ординат для ЛФЧХ вниз от оси абсцисс в пределах 0…(-270˚); для последующего анализа устойчивости

проводят пунктирную линию с ординатой (-180˚).

е) Строят ЛАЧХ:

Проводят низкочастотную асимптоту влево от абсциссы

ω₁ = ω_мин =1/ Т_макс:

для статической системы это будет прямая, параллельная оси абсцисс (с нулевым наклоном) с ординатой L= 20 lgК;

где К = - общий коэффициент передачи системы,

К_i – коэффициенты передачи звеньев;

для астатической системы первого порядка проводится линия с наклоном – 20 дБ/дек, проходящая через точку с координатами (20 lgК, ω=1).

Продолжают ЛАЧХ, начиная от частоты ω_1, в область высоких

частот. При этом ЛАЧХ претерпевает изменение наклона на (- 20) дБ/дек на частотах сопряжения, соответствующих инерционным, на (- 40) дБ/дек, - колебательным, на (+20) дБ/дек – реальным дифференцирующим (форсирующим) звеньям.

Последняя асимптота ЛАЧХ, получаемая в результате построения, должна иметь наклон 20(–ν + l–r–2n) согласно (18).

Строить линию с типовым наклоном удобно по двум точкам –начальной с координатами (ω_1, L₁) и доплнительной – с координатами

(10ω₁, L₁±20 дБ). При другом способе в первой декаде строят линии с типовыми наклонами, как показано на рисунке Е1 (Приложение Е), и используют их при построении асимтотической ЛАЧХ путем параллельного переноса.

При построении асимптотической ЛАЧХ наибольшая погрешность получается в районе сопрягающих частот. У инерционных звеньев она не превышает 3 дБ. При построении ЛАЧХ колебательного звена необходимо проверить условие ξ > 0,4.

Если оно выполняется, то можно строить асимптотическую ЛАЧХ, если нет, ЛАЧХ в области сопрягающей частоты уточняется (С.200 [1]).

Строят логарифмическую фазовую характеристику разомкнутой системы φ_Σ(ω) путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов φ вычисляют в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180^º), а ЛАЧХ выходит в высокочастотной части за предел (–20) дБ.

ЛФЧХ звеньев вычисляются по формулам:

для усилительного звена 0;

для идеального интегрирующего звена – π/2 на

всех частотах;

для инерционного звена – arctg ωT;

для форсирующего звена + arctg ωT;

для колебательного – arctg при ω ≤ ,

– π – arctg при ω ≥ .

Таблица 3 – Расчет фазовой частотной характеристики

4.5.2 Делают вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю) (рисунок 8).

L(ω), дБ

0 ω_С ω

2 1 ΔL

Δφ

- 180

4 φ_Σ(ω)

φ,град

1-замкнутая система абсолютно устойчива, 2 - на границе устойчивости, 3 – неустойчивая, 4- условно устойчивая

Рисунок 8 – Логарифмические частотные характеристики

разомкнутой системы

4.5.3 Для устойчивых систем определяют запас устойчивости по модулю ΔL =|L(ω)| и по фазе Δφ (рисунок 8).

Запас устойчивости по модулю ΔL равен значению |L(ω)| на частоте, при которой φ_Σ(ω) = –180 ^°.

Запас устойчивости по фазе Δφ = 180 + φ_Σ(ω_с),

где ω_с – частота среза, т.е. частота на которой А(ω)=1, а L(ω)=0.

4.5.4 Ориентировочно оценивают время регулирования по формуле

< t_P < .