Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предел функции в точке.

Пусть функция y=f ( x ) задана в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Определение. Число А называется пределом функции f ( x) при х, стремящемся к х₀ (или в точке х₀ ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e >0, найдется такое положительное число d>0 ( зависящее от e, d=d (e)), что для всех х, не равных x₀ и удовлетворяющих условию

| х-х₀ |<d, (**)

выполняется неравенство

| f(x)-А | < e (***)

Этот предел функции обозначается или при

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения предела функции f ( x ) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения функции f ( x ) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше, неравенство | f(x)-А | < e равносильно двойному неравенству A— e <f(x)< А+ e, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2e(см. рис.2.). Аналогично | х-х₀ |<d неравенство равносильно двойному неравенству х ₀-d< x< х ₀+d,

Рис. 2 соответствующему попаданию точек х в d-окрестностъ точки х₀.