Читайте также:
|
|
Пример 1. Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число. Какова вероятность того, что сгенерированное число делитсяна 5?
Решение. Так как всего 90 двузначных чисел (от 10 до 99), то общее число исходов n=90. Число исходов, благоприятствующих нашему событию, равно k =17. Поэтому по формуле (2.1) получаем p = 17/90= 0,189.
Ответ: 0,189.
Пример 2. Одновременно бросаются два кубика (игральные кости). Найти вероятность того, что суммарное число выпавших очков меньше 5.
Решение. Найдем n - общее число исходов. Так как с каждой из 6 граней одного кубика возможно появление любой из 6 граней другого кубика, то согласно правилу произведения n = 62 = 36. Число благоприятствующих исходов найдем простым их пересчетом: 1+1, 1+2, 1+3, 2+1, 2+2, 3+1, т.е. k=6. Следовательно, по формуле (2.1) p = k / n = 6/36= 1/6.
Ответ: 1/6.
Пример 3. В урне находятся 13 белых и 17 черных шаров. Извлекаются 5 шаров. Найти вероятности событий: А = {извлечено два белых шара}, В = {извлечен хотя бы один белый шар}.
Решение. Найдем общее число исходов. Вытащить 5 шаров – означает составить группу из 5 шаров, если всего их 30, причем порядок извлечения шаров безразличен. Значит, речь идет о сочетаниях по 5 элементам из 30. Число таких сочетаний равно C5 30, и по формуле (2.4)
Найдем число исходов, благоприятствующих событию A. Исход благоприятствует A, если из 13 белых шаров извлечем два, а из 17 черных шаров - три, причем порядок извлечения безразличен. Поэтому согласно правилу произведения число исходов, благоприятствующих А, равно
Теперь по формуле (2.1) P (A) = k 1 / n = 0,372.
Чтобы решить вторую часть задачи, введем в рассмотрение противоположное событие B = {извлечены все черные шары}. Число исходов, благоприятствующих B, равно k2 = C517 = 6188. Значит, P(B) = k 2 /n = 0, 043 и P (B) =1− P (B) = 0,957.
Ответ: 0,372; 0,957.
Пример 4. Слово АБРАКАДАБРА разрезается на буквы, которые затем буквы перемешиваются. Одна за другой вытаскиваются 5 букв и прикладываются друг к другу слева направо. Найти вероятности событий: A = {случайно сложится слово РАДАР}, B = {случайно сложится слово БАРКА}.
Решение. Находим n - общее число исходов. Всего 11 букв, из них набирается группа в 5 букв, порядок внутри должен учитываться (ибо слово - упорядоченная группа букв). Значит, речь идет о размещении. По формуле (2.2) A511 = 11·10·9·8·7 = 55440.
Найдем число исходов, благоприятствующих слову РАДАР. В исходном слове АБРАКАДАБРА содержится 2 буквы "Р", 5 букв "А", 1 буква "Д". Поэтому в слове РАДАР первую букву "Р" можно выбрать двумя способами, а вторую - всего лишь одним (одна "Р" уже взята). Первую букву "А" можно выбрать 5 способами, вторую - 4 способами. Букву "Д" - одним способом. По правилу произведения число благоприятствующих исходов равно k 1 = 2·5·1·4·1= 40. Следовательно, P(A) = k 1 /n = 40 / 55440 = 7, 22 ⋅10-4.
Аналогично число исходов, благоприятствующих слову БАРКА, равно k 2 = 2·5· 2·1·4 = 80. Следовательно, P(B) = k 2 /n = 80 / 55440 =1, 44 ⋅10-3.
Ответ: 7,22⋅10-4; 1,44⋅10-3.
Пример 5. Десять книг, из которых три по математике, случайным образом расставляются на полке. Найти вероятность того, что книги по математике окажутся рядом.
Решение. Общее число исходов равно числу перестановок из 10 книг, т.е. согласно (2.3) n = P 10 =10!. Чтобы найти число благоприятствующих исходов, рассмотрим одну фиксированную расстановку книг на полке (cм. рис.).
математика другие книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
--- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
Здесь первые три позиции занимают книги по математике, на 4-10 позициях поставлены остальные семь книг. Сколькими способами можно получить такую расстановку? На первых трех позициях книги по математике можно расставить k 1 = P3 = 3! способами, на остальных позициях другие книги можно расставить k 2 = P7 = 7! способами. Поэтому согласно правилу произведения вся расстановка книг, изображенная на рис., может быть получена k 3 = k 1 ⋅ k 2 = 3!⋅7! способами. Чтобы получить все требуемые условием задачи расстановки книг, нужно тройку книг по математике переставить с 1-3 позиций на 2-4, 3-5,..,8-10 позиции, не изменяя порядок расположения книг внутри "математической" и "нематематической" групп. Таких "сдвижек" будет 8, и для каждой такой "сдвижки" возможна перестановка книг внутри "математической" и "нематематической" групп k 3 способами. Значит, общее число благоприятствующих исходов равно k = 8 k 3 = 8⋅3!⋅7!. Вероятность события находим по формуле (2.1) и получаем p = k/n = 8 ⋅ 3! ⋅ 7 !/ 10! =1 / 15 = 0, 067.
Ответ: 0,067.
Пример 6. Пять мужчин и десять женщин случайным образом по трое рассаживаются за 5 столиков. Какова вероятность того, что за каждым столиком окажется мужчина?
Решение. Найдем сначала общее число исходов. За первый столик могут сесть любые три человека из 15, такая посадка осуществляется n 1 = C3 15 способами. За второй столик может сесть любая тройка из оставшихся 12 человек, такая посадка осуществляется n 2 = C3 12 способами.
Аналогично посадку за 3,4,5 столики можно осуществить n 3 = C3 9, n 4 = C3 6, n 2 = C3 3 способами. Поэтому по правилу произведения общее число исходов равно
Аналогично одного мужчину и две женщины за первый столик можно посадить k 1 = 5⋅ C2 10 способами, за второй, третий, четвертый, пятый столики - соответственно k 2 = 4⋅ C2 8, k 3 = 3⋅ C2 6, k 1 = 2⋅ C24, k 1 = 1 способами. Значит, число благоприятствующих исходов равно
Следовательно,
Ответ: 0,081.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 253 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |