Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Методические указания. Часть 2.Теория вероятностей и математическая статистика

Часть 2.Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Задан ряд распределения случайной величины

Вероятности р заданы произвольно, исходя из условия: сумма их равна 1

------------------------------------------

х_i 1 2 3 4 5 6

------------------------------------------

р_i 0,1 0,3 0,2 0,1 0,2 0,1

1)Найти математическое ожидание и дисперсию.2) Найти вероятности следующих событий: случайная величина примет значение а) не больше единицы;

в) не меньше своего математического ожидания.

Решение. 1) Здесь используются формулы для математического ожидания

М(X)= х р +х р +…+х р

и дисперсии D(X)=(х ) р +(х ) р +…+(х ) р -(М(X))

Подставляя в формулы значения из таблицы, вычислим

М(X)= 1 0,1+2 0,3+3 0,2+4 0,1+5 0,2+6 0,1= 3,3

D(X)=1 0,1+4 0,3+9 0,2+16 0,1+25 0,2+36 0,1-(3,3) = 2,41

2) Р(X 1)= 0,1; Р(X 3,3)=0,1+0,2+0,1= 0,4

Пример 2. Стрелок делает по мишени п выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. 1)Построить ряд распределения числа попаданий. 2)Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий. 3)Найти вероятность хотя бы одного попадания.

(n=3; р=0,3)

Решение. При решении задачи следует использовать биномиальное распределение: P (X=m)=C p (1-p) , m=0;1;;n

1)Ряд распределения числа попаданий имеет вид таблицы

m 0 1 2 3

--------------------------------

р 0,343 0,441 0,189 0,027

Проверка. 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 =1

2) Математическое ожидания и дисперсию числа попаданий можно найти по формулам для биномиального распределения: М(X)=n p; D(X)=n p(1-p)

М(X)=3 0,3= 0,9; D(X)=3 0,3 0,7= 0,63 3) P (X 1)=1- P (X=0)=1-0,343= 0,657

Пример3. В урне имеются а белых и b черных шаров. Вынимают 2 шара. Построить ряд распределения числа черных шаров среди вынутых.

Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных шаров.

Решение. Пусть а=3 b=4.

Очевидно, что случайное число Х черных шаров может принимать значения

0; 1; 2. Найдем вероятности этих значений. Обозначим через А- вынутый

шар белый, через В – вынутый шар черный. Индекс 1 означает 1-ый вынутый шар, индекс 2 означает 2-ой вынутый шар.

Р(X=0)=Р(А А ₂)= = , Р(X=1)=Р(А В + В А )= +

+ = , Р(X=2)=Р(В₁ В )= = .

Ряд распределения числа черных шаров имеет вид

М(X)= D(X)= - =

Пример 4. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея в запасе n патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Построить ряд распределения числа израсходованных патронов.

Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов.

(n,p из задачи 11)

Решение. n=3, p=0,3. Очевидно, что случайное число израсходованных патронов может принимать значение 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений.

Обозначим события А - попадание при i выстреле, - промах при i выстреле. События А и независимы.

Р(X=1)=Р(А )=0.3. Р(X=2)=Р( А )=0,7 0,3=0,21. Р(X=3)=Р( )=(0,7) =0,49. Таким образом ряд распределения имеет вид

М(X)=1 0,3+2 0,21+3 0,49= 2,19 D(X)=1 0,3+4 0,21+9 0,49-(2,19) = 0,754

5. Дан следующий вариационный ряд

.

Требуется 1) Построить полигон распределения

2) Вычислить выборочную среднюю, дисперсию.

Решение

Здесь дана выборка объема n=10.

1) Полигон распределения- это зависимость абсолютной частоты варианта m_i от значения варианта x_i. Эту зависимость можно представить в виде таблицы

2) выборочная средяя- = 3,1

выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение

D = -() =12,3- 9,61= 2,69, = 1,64,

где

= =12,3

6.Для таблицы значений х и у вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии и средние квадратичные отклонения, выборочный коэффициент корреляции. Записать выборочное уравнение линейной регрессии у_х=ax+b.Построить прямую регрессии и изобразить на координатной плоскости точки (x,y) из таблицы. Вычислить остаточную дисперсию.

.

Решение.Здесь дана выборка объема n=5 из двумерной генеральной совокупности (Х,У). Для решения задачи требуется найти следующие величины

выборочные средние- ,

выборочные дисперсии и среднеквадратичные отклонения

D = -() , D = -() , , , где

= , =

выборочный коэффициент корреляции

r = , где = (х у +х у +х у +х у +х у )

Коэффициент корреляции r любых двух случайных величин удовлетворяет неравенству r . Значения r близкие к нулю соответствуют отсутствию линейной связи между величинами х и у, а значения близкие по модулю к единице- тесной линейной связи между х и у.

Выборочное уравнение линейной регрессии

Последнее уравнение должно быть приведено к виду

у_х=ax+b

Все расчеты удобно выполнять в табличной форме.

n	x	y	x2	y2	xy	yx	(y- yx)2
	-2	-2				-0,33	2,79
						7,47	0,28
						9,42	2,50
						11,37	0,40
						25,02	1,04
							7,01

Для приведенной выборки =3,6, =10,6

D = , D =69,44

= =73

r = .

Выборочное уравнение регрессии или

У_х=1,95х+3,57.

По уравнению регрессии вычисляем у_х и заполняют седьмой столбик таблицы. По уравнению регрессии строят прямую в системе координат ОХУ, затем на ту же систему координат наносят точки (х,у) из таблицы.

Остаточная дисперсия вычисляется по формуле

D_ост.= ∑(y- y_x)²= = 2,33

Тема4. Экономико-математические методы (детерминированные модели)

Пример1

Максимизировать целевую функцию L при заданных линейных ограничениях

1.1 L= 2x₁ +2x₂ при 3x₁ + 2x₂ 6; x₁ 0; x₂ 0.

1.2 L= 2x₁ +3x₂ при 3x₁ + x₂ 6; x₁ 0; x₂ 0.

1.3 L= 3x₁ +2x₂ при 2x₁ + 3x₂ 6; x₁ 0; x₂ 0

.

1.4 L= 3x₁ +3x₂ при x₁ + 2x₂ 6; x₁ 0; x₂ 0.

1.5 L= x₁ + x₂ при 3x₁ + 2x₂ 3; x₁ 0; x₂ 0.

1.6 L= 4x₁ +2x₂ при 3x₁ + 2x₂ 2; x₁ 0; x₂ 0.

1.7 L= 2x₁ +4x₂ при x₁ + x₂ 6; x₁ 0; x₂ 0.

1.8 L= x₁ +2x₂ при x₁ + 2x₂ 4; x₁ 0; x₂ 0.

1.9 L= 2x₁ +x₂ при 2x₁ + 2x₂ 5; x₁ 0; x₂ 0.

1.10 L=4x₁ +3x₂ при 4x₁ + 2x₂ 5; x₁ 0; x₂ 0.

Пример1. Максимизировать целевую функцию L при заданных линейных ограничениях

L= 2x₁ +x₂ при 2x₁ + 3x₂ 12; x₁ 0; x₂ 0.

Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений по уравнениям прямых.

Областью допустимых решений является треугольник ОАВ. Построим вектор

С (2; 1). Тогда опорная прямая, перпендикулярная вектору С, при выходе из треугольника решений пройдет через точку А (6,0), а потому в точке А целевая функция L принимает максимальное значение L_max= 2 6 + 5 0= 12

у

В(0,4)

С(2,1)

А(6,0)

0 х

Пример 2. Найти критическое время выполнения комплекса работ, представленного сетевым графом. Вычислить резервы времени для работ, не лежащих на критическом пути. Продолжительность работ равны

2.1. а₀₁ = 2_, а₀₂=4_, а₁₂=5_, а₁₃=4, а₂₃=6, а₃₄=4, а₃₅=5, а₄₅=7, а₄₅=7_, а₅₆=4

2.2. а₀₁ = 2_, а₀₂=3_, а₁₂=2_, а₁₃=6, а₂₃=3, а₃₄=4, а₃₅=5, а₄₅=7, а₄₅=7_, а₅₆=8

2.3. а₀₁ = 2_, а₀₂=5_, а₁₂=7_, а₁₃=4, а₂₃=4, а₃₄=6, а₃₅=8, а₄₅=4, а₄₅=7_, а₅₆=4

2.4. а₀₁ = 2_, а₀₂=4_, а₁₂=5_, а₁₃=4, а₂₃=6, а₃₄=4, а₃₅=5, а₄₅=7, а₄₅=7_, а₅₆=6

2.5. а₀₁ = 2_, а₀₂=4_, а₁₂=3_, а₁₃=4, а₂₃=6, а₃₄=4, а₃₅=5, а₄₅=7, а₄₅=7_, а₅₆=4

2.6. а₀₁ = 2_, а₀₂=6_, а₁₂=1_, а₁₃=4, а₂₃=8, а₃₄=2, а₃₅=5, а₄₅=4, а₄₅=7_, а₅₆=5

2.7. а₀₁ = 2_, а₀₂=8_, а₁₂=8_, а₁₃=4, а₂₃=5, а₃₄=4, а₃₅=5, а₄₅=8, а₄₅=7_, а₅₆=3

2.8. а₀₁ =6_, а₀₂=4_, а₁₂=3_, а₁₃=4, а₂₃=6, а₃₄=7, а₃₅=5, а₄₅=7, а₄₅=7_, а₅₆=7

2.9. а₀₁ =5_, а₀₂=3_, а₁₂=9_, а₁₃=8, а₂₃=6, а₃₄=4, а₃₅=5, а₄₅=9, а₄₅=7_, а₅₆=8

2.10. а₀₁ = 2_, а₀₂=5_, а₁₂=3_, а₁₃=5, а₂₃=6, а₃₄=3, а₃₅=5, а₄₅=4, а₄₅=7_, а₅₆=6

Пример 2. Найти критическое время выполнения комплекса работ, представленного сетевым графом. В качестве иллюстрации рассмотрим работы, связанные с постройкой жилого дома. Введем в рассмотрение следующие работы: 01- строительство подъездных путей; 02- рытье котлована; 12- завоз строительных материалов; 13- подвод коммуникаций; 23- строительство фундамента и стен; 34- строительство крыши; 35- остекление; 45- внутренняя отделка; 46- благоустройство территории; 56- установка внутреннего оборудования.

Расчет показывает, что в критический путь входят работы: а_01, а_12, а_23, а_34, а_45, а₅₆

и его продолжительность равна: Т=2+5+4+5+2+6=24

4

3 5

2

5 2

3 4 3 6

Работы, не лежащие на критическом пути имеют резервы времени, то есть время их выполнения можно увеличить без увеличения критического времени. Работа 01

имеет резерв времени равный 2+5-3=4; работа 13 имеет резерв времени равный

5+44-3=6; работа 35 имеет резерв времени, равный 5+2-3=4: работа 46 имеет резерв времени, равный 2+6-4=4.