Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Производные сложных функций.производные высших порядков

Основные правила дифференцирования

Теорема. Производная суммы равна сумме производных, полученных от слагаемых: (а+с)'=а'+с'. Аналогичным образом это правило будет действовать и для нахождения производной разности. Следствием даного правила дифференцирования является утверждение о том, что производная от некоторого числа слагаемых равна сумме производных, полученных от данных слагаемых. Например, если необходимо найти производную от выражения (а+с-к)', тогда результатом будет выражение а'+с'-к'.-

Теорема. Производная произведения математических функций, дифференцируемых в точке, равна сумме, состоящей из произведения первого множителя на производную второго и произведения второго множителя на производную первого. Математически теорема будет записана следующим образом: (a*c)'=а*с'+а'*с. Следствием теоремы является вывод о том, что постоянный множитель в производной произведения можно выносить за производную функции. В виде алгебраического выражение данное правило будет записано следующим образом: (а*с)'=а*с', где а=const. Например, если необходимо найти производную выражения (2а3)', то результатом будет ответ: 2*(а3)'=2*3*а2=6*а2.

Теорема. Производная отношения функций равна отношению между разностью производной числителя, умноженной на знаменатель, и числителя, умноженного на производную знаменателя и квадрата знаменателя. Математически теорема будет записана следующим образом: (a/c)'=(а'*с-а*с')/с2. В заключение необходимо рассмотреть правила дифференцирования сложных функций.

Теорема. Пусть задана фукция у=ф(х), где х=с(т), тогда функция у, по отношению к переменной т, называется сложной. Таким образом, в математическом анализе производная сложной функции трактуется, как производная самой функции, умноженная на производную ее подфункции. Для удобства правила дифференцирования сложных функций представляют в виде таблицы.

При регулярном использовании данной таблицы производные легко запоминаются. Остальные производные сложных функций можно найти, если применить правила дифференцирования функций, которые были изложены в теоремах и следствиях к ним

Производные сложных функций.производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

Пример

Задание. Найти вторую производную функции

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ.

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции: