Читайте также:
|
|
Неравенство Чебышева. Неформальное выражение: вероятность того, что центрированная и нормированная случайная величина существенно отклонится от 0, очень мала.
Неравенство имеет смысл при а>1. Данное неравенство более общее, но менее точное, чем неравенство из правила 3-х сигма.
Неравенство Чебышева может эффективно применяться для сумм случайных величин. Пусть Х1, Х2,..., Хn – независимые, одинаково распределенные случайные величины. Применим неравенство Чебышева к случайным величинам вида:
1/n (X1+X2+…+Xn)
M(1/n(X1+X2+…+Xn))=1/n(M(X1)+M(X2)+...+M(Xn))=M(X)
D(1/n(X1+X2+…+Xn)=1/n2(D(X1)+D(X2)+...+D(Xn))=1/n*D(X)
P(|Y-M(X)/(σ(X)/√n)|>t)<1/t2
И эквивалентное ему равенство:
P(|Y-M(X)|>tσ(X)/√n)<1/t2
Введем обозначение:
Пусть S=tσ(X)/√n => t=S√n/σ(X)
P(|Y-M(X)|>S)<(σ(X)/S√n)2
P(|Y-M(X)|>S)<(σ2(X)/S2√n)
Вывод: среднеарифметические случайные величины очень мало отклоняются от математического ожидания каждой случайной величины. Вероятность отклонения убывает обратно пропорционально числу слагаемых n.
Закон больших чисел.
Неформальное выражение закона больших чисел: при многократном повторении многотипных случайных явлений, их усредненные характеристики практически перестают быть случайными и могут быть предсказаны с высокой степенью точности.
Формулировка закона больших чисел:
Пусть Х1, Х2,..., Хn – независимые, одинаково распределенные случайные величины, тогда:
Важным частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли: если вероятность наступления А в каждом из n однотипных опытов постоянна и А=р, то справедливо неравенство:
Где m – число наступлений событий А в n опытах.
Теорема Бернулли позволяет оценить неизвестную вероятность некоторого события А при наличии результатов достаточно большого числа опытов n.
Пояснение к теореме Бернулли:
Введем случайную величину
Xi {1, А наступило
{0, А не наступило
Индикатор наступления события А:
х|0 |1 М(Хi)=Р(0*(1-р)+1*р)
р|1-p|p Х1, Х2,..., Хn=m
Подставляем вместо m и р их выражения, приходим к исходной форме закона больших чисел.
Центральная предельная теорема – устанавливает условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Эти условия часто выполняются на практике. ЦПТ лежит в основе широкого класса результатов и методов в статистике, эконометрике и д.р. ЦПТ уточняет ЗБЧ и иногда называется его количественной формой.
Неформальное выражение ЦПТ: сумма большого числа независимых СВ при неограниченном увеличении числа слагаемых имеет закон распределения, неограниченно приближающийся к НЗ при условии, что в сумме нет явно преобладающих слагаемых.
Формулировка ЦПТ: пусть Х1, Х2,...,Хn – последовательность одинаково распределенных независимых СВ и
Тогда:
и при этом <d~ Ф(d)-Ф(с).
В частном случае, при c=t, d=t, t>0
<t~Ф(t) –Ф(-t)=2Ф(t)
Более удобный для практики вид:
Важным частным случаем ЦПТ являются предельные теоремы Муавра – Лапласа. В них рассматриваются ситуации, связанные с многократно повторяющимися формулами (при постоянных условиях). Пусть событие А, в каждом из n независимых опытов наступает с вероятностью р. Введем СВ Х, равную числу наступлений события А в n опытах, тогда ,
По ЦПТ ,
следовательно
Локальная предельная теорема.
Р(Х=m) ~ 1/√npq*Ф(ϻ)
ϻ=m-np/√npq
Точное значение вероятности
Р(Х=m)=(Pn, m (A) и может быть вычислено по формуле Бернулли.
Интегральная предельная теорема
Запись теоремы в нормализованном виде:
Простые практические правила для применения предельных теорем: при npq>9 данные теоремы дают достаточно точный результат. Достаточно точные результаты дает применение распределения Пуассона.
В партии 1000 единиц товара. Вероятность появления брака равно 0,01. Найти вероятность: а) Р(m=n), P(m<10), где m – число брака.
Расчет по формуле Бернулли:
Применяем локальную предельную теорему:
Полезные сайты и материалы:
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |