Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Законы больших чисел.

Читайте также:
  1. B.Подзаконы
  2. E) законы, указы, имеющие силу закона, указы, распоряжения.
  3. E) законы, указы, имеющий силу закона, указы, распоряжения.
  4. E) экономические законы и развитие экономических систем
  5. I. Специфика больших городов
  6. II. Нормативно-правовые акты делятся на: законы и подзаконные акты.
  7. O законы;
  8. The Laws of Demand and Supply (Законы спроса и предложения)
  9. V2: Случайные величины и их законы распределения
  10. А) законы, указы, имеющие силу закона, распоряжения.

Неравенство Чебышева. Неформальное выражение: вероятность того, что центрированная и нормированная случайная величина существенно отклонится от 0, очень мала.

Неравенство имеет смысл при а>1. Данное неравенство более общее, но менее точное, чем неравенство из правила 3-х сигма.

 

Неравенство Чебышева может эффективно применяться для сумм случайных величин. Пусть Х1, Х2,..., Хn – независимые, одинаково распределенные случайные величины. Применим неравенство Чебышева к случайным величинам вида:

1/n (X1+X2+…+Xn)

M(1/n(X1+X2+…+Xn))=1/n(M(X1)+M(X2)+...+M(Xn))=M(X)

D(1/n(X1+X2+…+Xn)=1/n2(D(X1)+D(X2)+...+D(Xn))=1/n*D(X)

 

P(|Y-M(X)/(σ(X)/√n)|>t)<1/t2

И эквивалентное ему равенство:

P(|Y-M(X)|>tσ(X)/√n)<1/t2

 

Введем обозначение:

Пусть S=tσ(X)/√n => t=S√n/σ(X)

 

P(|Y-M(X)|>S)<(σ(X)/S√n)2

P(|Y-M(X)|>S)<(σ2(X)/S2√n)

 

Вывод: среднеарифметические случайные величины очень мало отклоняются от математического ожидания каждой случайной величины. Вероятность отклонения убывает обратно пропорционально числу слагаемых n.

 

Закон больших чисел.

Неформальное выражение закона больших чисел: при многократном повторении многотипных случайных явлений, их усредненные характеристики практически перестают быть случайными и могут быть предсказаны с высокой степенью точности.

 

Формулировка закона больших чисел:

Пусть Х1, Х2,..., Хn – независимые, одинаково распределенные случайные величины, тогда:

Важным частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли: если вероятность наступления А в каждом из n однотипных опытов постоянна и А=р, то справедливо неравенство:

Где m – число наступлений событий А в n опытах.

 

Теорема Бернулли позволяет оценить неизвестную вероятность некоторого события А при наличии результатов достаточно большого числа опытов n.

Пояснение к теореме Бернулли:

Введем случайную величину

Xi {1, А наступило

{0, А не наступило

Индикатор наступления события А:

х|0 |1 М(Хi)=Р(0*(1-р)+1*р)

р|1-p|p Х1, Х2,..., Хn=m

Подставляем вместо m и р их выражения, приходим к исходной форме закона больших чисел.

 

Центральная предельная теорема – устанавливает условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Эти условия часто выполняются на практике. ЦПТ лежит в основе широкого класса результатов и методов в статистике, эконометрике и д.р. ЦПТ уточняет ЗБЧ и иногда называется его количественной формой.

Неформальное выражение ЦПТ: сумма большого числа независимых СВ при неограниченном увеличении числа слагаемых имеет закон распределения, неограниченно приближающийся к НЗ при условии, что в сумме нет явно преобладающих слагаемых.

Формулировка ЦПТ: пусть Х1, Х2,...,Хn – последовательность одинаково распределенных независимых СВ и

Тогда:

и при этом <d~ Ф(d)-Ф(с).

В частном случае, при c=t, d=t, t>0

<t~Ф(t) –Ф(-t)=2Ф(t)

Более удобный для практики вид:

Важным частным случаем ЦПТ являются предельные теоремы Муавра – Лапласа. В них рассматриваются ситуации, связанные с многократно повторяющимися формулами (при постоянных условиях). Пусть событие А, в каждом из n независимых опытов наступает с вероятностью р. Введем СВ Х, равную числу наступлений события А в n опытах, тогда ,

По ЦПТ ,

следовательно

Локальная предельная теорема.

Р(Х=m) ~ 1/√npq*Ф(ϻ)

ϻ=m-np/√npq

Точное значение вероятности

Р(Х=m)=(Pn, m (A) и может быть вычислено по формуле Бернулли.

Интегральная предельная теорема

Запись теоремы в нормализованном виде:

Простые практические правила для применения предельных теорем: при npq>9 данные теоремы дают достаточно точный результат. Достаточно точные результаты дает применение распределения Пуассона.

В партии 1000 единиц товара. Вероятность появления брака равно 0,01. Найти вероятность: а) Р(m=n), P(m<10), где m – число брака.

Расчет по формуле Бернулли:

Применяем локальную предельную теорему:

 

 

Полезные сайты и материалы:

 

 

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав