Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Координатное представление векторов

Координаты вектора — это числа х ₁, х ₂, х ₃, …, являющиеся коэффициентами ЛК типа: х = х ₁ е₁ + х ₂ е₂ + х ₃ е₃ +...., где е₁, е₂, е₃, … — базисные векторы (базис). Координаты векторов принято записывать двумя альтернативными способами:

Вектор-столбец принято отмечать чертой над символом вектора, а вектор-строку — чертой под символом вектора. (Иногда вектор-столбцы называют контравариантными векторами или контравекторами, а вектор-строки — ковариантными векторами или ковекторами.) С математической точки зрения контра- и ко векторы эквивалентны, однако они могут использоваться для обозначения различных типов физических объектов.

Важную роль играет следующее обстоятельство: выбор базиса неоднозначен и в любом ЛП возможных базисов бесконечно много, однако все они содержат одно и то же число базисных векторов. Это фундаментальное число называется размерностью ЛП.

Координатное представление позволяет очень просто и наглядно выполнять операции над векторами. При сложении двух векторов складываются их координаты, расположенные на одинаковых позициях. Например:

(1, 2, 3) + (2, –5, 8) = (1 + 2, 2 – 5, 3 + 8) = (3, –3, 11)

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Например:

4 • (2, –5, 8) = (4 • 2, – 4 • 5, 4 • 8) = (8, –20, 32)

Если мы имеем линейную комбинацию, то любая координата результирующего вектора будет получаться как линейная комбинация координат исходных векторов, расположенных на соответствующих позициях. Например:

2 • (1, 3) – 4 • (5, 2) = (2 • 1 – 4 • 5, 2 • 3 – 4 • 2) = (–18, –2)

Координатное представление базисных векторов имеет особенно простой вид: каждый базисный вектор имеет одну координату (под номером, совпадающим с номером данного базисного вектора), равную единице, а все остальные его координаты равны нулю:

е ₁ = (1, 0, 0, …) е ₂ = (0, 1, 0, …) и т.д.

Используя координатное представление, можно ввести еще одну операцию, которая выполняется над парой векторов. Эта операция называется скалярным умножением векторов и изображается одним из следующих способов:

a = (x, y) = x · y = á x | y ñ

Сомножитель, идущий первым, всегда представляет собой ковектор (вектор-строку), тогда как второй сомножитель всегда является контравектором (вектор-столбцом). Результатом этой операции является число, называемое скалярным произведением векторов, значение которого можно рассчитать через координаты векторов х и у по формуле:

Таким образом, чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо первый из них записать в форме строки, а второй — в форме столбца. Аналогичным образом можно найти и скалярный квадрат вектора, т.е. произведение вектора на себя:

Cкалярный квадрат вектора называют также квадратом модуля вектора, поскольку корень квадратный из произведения вектора на себя называется модулем вектора

С помощью скалярного умножения можно ввести метрические понятия в модель ЛП, т.е. определить длины векторов и углы между ними. В качестве длины вектора принимается величина его модуля. Угол j между двумя векторами определяется по формуле:

Отметим следующее обстоятельство: при умножении вектора на некоторое число a его модуль (длина) увеличивается в a раз, а ориентация (угол относительно всех остальных векторов) остается неизменным. Таким образом, среди всех векторов можно выделить подмножества, в которые входят все векторы одной и той же ориентации, но отличающиеся друг от друга длиной. Такие подмножества сами по себе образуют одномерные ЛВП и называются лучами. В каждом луче можно выделить один особый вектор, длина которого равна единице. Такой вектор называется нормированным, его можно рассматривать в качестве представителя данного луча. Любой другой вектор можно получить из нормированного посредством умножения на некоторое число или свести к нормированному посредством операции, называемой нормировкой (нормированием). При нормировке каждая координата вектора делится на величину модуля этого вектора. Например, двумерный вектор х = (6, 8) имеет квадрат модуля: ê х ê² = 6² + 8² = 100 и, следовательно, является ненормированным. Для нормировки разделим все координаты на 10 и получим нормированный вектор х' =(6/10, 8/10), совпадающий по направлению с исходным (т.е. принадлежащий тому же лучу), но имеющий единичную длину.