Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Матрицы. Матрицы являются математическими объектами, которые, подобно векторам, широко используются для моделирования различных физических и химических структур и их

Читайте также:
  1. АНАЛИЗИРОВАТЬ МАТРИЦЫ
  2. Занятие 1 Матрицы и операции с ними
  3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
  4. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
  5. Матрицы
  6. Матрицы
  7. Матрицы и операции над ними
  8. Матрицы исходов в процессе выработки решений
  9. Матрицы парных сравнений

Матрицы являются математическими объектами, которые, подобно векторам, широко используются для моделирования различных физических и химических структур и их свойств. Матрица — таблица, состоящая из строк и столбцов. Элементами матрицы (матричными элементами) являются чаще всего числа. Однако, в качестве матричных элементов могут выступать и объекты другого вида — векторы, функции, другие матрицы и т.д. В общем случае, количества строк и столбцов матрицы могут отличаться. Однако, наиболее часто используются квадратные матрицы, в которых число строк равно числу столбцов. Квадратную матрицу принято изображать следующим образом:

Первый индекс матричного элемента служит номером строки, а второй — номером столбца.

Матрицу можно рассматривать как вектор-столбец, элементами которого являются вектор-строки, или, наоборот, как вектор-строку, элементами которой являются вектор-столбцы. Для матриц можно определить несколько полезных характеристик.

Определитель. Под определителем или детерминантом матрицы (обозначается как Det или D) понимается некоторое число, которое можно рассчитать через матричные элементы по известным правилам. Рассмотрим эти правила подробно.

В основе вычисления определителя лежит процедура разложения по элементам строки. Для ее выполнения необходимо:

• выбрать некоторую строку (обычно выбирается та строка, которая содержит наибольшее количество нулей),

• записать первый элемент выбранной строки и умножить его на вспомогательную матрицу (минор), которая получается из исходной посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выписанный элемент,

• выполнить описанный выше прием для всех элементов выделенной строки,

• каждое произведение дополнительно умножить на (–1) i+j, где i и j — индексы элемента выделенной строки,

• сложить все полученные таким образом произведения (элементов выделенной строки на вспомогательные матрицы-миноры).

Полученная сумма и будет представлять собой разложение определителя по элементам данной строки. Это разложение содержит матрицы, размер которых меньше на единицу, чем у исходной матрицы. Теперь необходимо описанную процедуру разложения по элементам строки применить к каждой из этих вспомогательных матриц. В результате получим разложение, содержащее матрицы еще меньшего размера. Продолжая эту процедуру, мы придем к матрицам размера 1, представляющим собой обычные числа. Теперь необходимо выполнить все арифметические операции умножения и сложения. В результате получим некоторое число, которое и будет определителем исходной матрицы.

Рассмотрим пример вычисления определителя. Пусть имеется матрица размера (3´3):

 
 

 


Выберем для разложения первую строку. Выполним первый этап разложения и получим сумму трех произведений элементов первой строки на вспомогательные матрицы размера (2´2):

 
 

 

 


Выполним второй этап, подвергнув процедуре разложения вспомогательные матрицы размера (2´2) и получим совокупность чисел, связанных определенными операциями умножения и сложения: 2 × (5 × 5 – 7 × 1) – 4 × (3 × 5 – 7 × 4) + 8 × (3 × 1 – 5 × 4). Выполним арифметические действия и получим конечный результат:

2 × (25 – 7) – 4 × (15 – 28) + 8 × (3 – 20) =

= 2 × (18) – 4 × (–13) + 8 × (–17) = 36 + 52 – 136 = – 48

Полученное число и равно определителю матрицы: Det (A) = – 48. Подчеркнем, что для разложения определителя можно выбирать любую строку и любой столбец на любой из стадий вычисления.

Перманент. Перманент — это число, которое рассчитывается во всем аналогично определителю, за исключением того, что множители вида (–1) i+j вставляться не должны. Перманент, поэтому, иногда называют плюс-определителем матрицы. Так, для приведенного выше примера перманент будет равен:

Р (А) = 2 × (25 + 7) + 4 × (15 + 28) + 8 × (3 +20) =

= 2 × (32) + 4 × (43) + 8 × (23) = 64 + 172 + 184 = 420.

Алгебраическое дополнение. Алгебраическое дополнение — это число, которое можно поставить в соответствие каждому матричному элементу. Чтобы рассчитать алгебраическое дополнение для элемента аij необходимо вычеркнуть строку с номером i и столбец с номером j из исходной матрицы и рассчитать определитель матрицы меньшего размера, которая получится в результате такого вычеркивания. Кроме того, этот определитель необходимо умножить на множитель (–1) i+j. Алгебраическое дополнение обозначается той же буквой, что и матричный элемент, но только прописной (Аij). Очевидно, что определитель матрицы может быть выражен как сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Det(A)= ai1 × Ai1 + ai2 × Ai2 +.... + ain × Ain = å (aik × Aik)

След. Следом называется число, равное сумме всех диагональных (у которых оба индекса одинаковы) элементов матрицы: Sр (A)= å aii . Для приведенного выше примера матрицы А след будет равен: 2 + 5 + 5 = 12




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав