Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предел функции. Математический анализ

Математический анализ

Глава 1

Функции нескольких переменных

Основные понятия

Пусть задано множество упорядоченных пар . Соответствие , которое каждой паре чисел ставит в соответствие одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в , и записывается в виде или . При этом и называются независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Множество называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается или .

Функцию , где можно понимать (рассматривать) как функцию точки координатной плоскости . В частности областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, и обозначается . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции.

Геометрический смысл: Каждой точке области в системе координат соответствует точка , где – аппликата точки . Совокупность таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию .

Пример

Функция , имеет областью определения круг и изображается сферой с центром в точке и радиусом .

Функция двух и более числа переменных может быть задана, как и функция одной переменной разными способами: таблицей, аналитически, графически.

Предел функции

Для функции двух и более числа переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется – окрестностью точки . Другими словами, – окрестностью точки – это все внутренние точки круга с центром и радиусом .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Число называется пределом функции при (или, что то же самое, при ), если для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Записывают:

.

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: слева и справа!).

Геометрически смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется - окрестность точки , что во всех её точках , отличных от точки , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа по модулю меньше, чем на .

Пример

Найти предел .

Решение: Будем приближаться к по прямой , где – некоторое число. Тогда

.

Функция в точке предела не имеет, так как при разных значениях предел не одинаков (функция имеет различные значения)

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения:

если функции определены на множестве и имеют в точке этого множества пределы соответственно, то и функции имеют в точке пределы, которые соответственно равны .